Быстрая математика: секреты устного счета

10 делится на 4 два раза с остатком 2.

Наше рабочее число теперь 20. Имеем: (20 + 2) х 1 = 22.

22, деленное на 4, дает 5 с остатком 2.

Очередным рабочим числом является 20: (20 + 5) х 1 = 25.

25, деленное на 6, дает 4 с остатком 1.

10 плюс 6 равно 16. 16 при делении на 4 дает 4. Видим, что полученный ответ — 65,0256 — точен до 4 десятичных знаков.

Когда в одном месте получилось 10 в результате деления рабочего числа на рабочий делитель, мы поняли, что нужно увеличить последнюю цифру ответа на 1. Затем мы получили отрицательный остаток, подлежащий переносу, который должен, по идее, быть увеличен в 10 раз (поскольку остаток переносится из более высокого разряда). Не прибавляйте этот остаток к очередной цифре делимого вплоть до того (а точнее, не вычитайте, поскольку речь идет об отрицательном числе), как вы умножили последнюю полученную цифру ответа на корректирующий множитель и прибавили полученное число к текущей цифре делимого, так как всегда легче вычесть в конце число, кратное 10, чем вычесть его в начале, а затем работать с отрицательными числами.

Деление на трехзначные числа

Деление на трехзначное число аналогично делению на двузначное. Например:

45678: 321 =

Оформляем решение примера так же, как в случае деления на двузначное число.

321| 45678

Прежде всего делим на 300. Для этого сначала делим на 100, а потом на 3.

Деление на 100 подразумевает перенос десятичной запятой на две позиции влево. Это дает нам число 456,78.

Теперь делим на 3 и вносим поправки по ходу решения.

4 при делении на 3 дает 1 с остатком 1, поэтому 1 — это первая цифра нашего ответа. Записываем 1 под цифрой 4 делимого. Остаток 1 переносим к следующей цифре, что дает нам рабочее число 15.

Теперь умножим наш ответ (1) на вторую цифру делителя (2). 1 на 2 равно 2. Вычитаем 2 из нашего рабочего числа (15) и получаем 13. Теперь делим 13 на 3. 13 при делении на 3 дает 4 с остатком 1. 4 — это следующая цифра ответа. Переносим остаток, как обычно, и получаем новое рабочее число 16.

Теперь умножим последнюю цифру ответа (4) на вторую цифру делителя:

4 х 2 = 8

Также умножим предыдущую цифру ответа (1) на третью цифру делителя (1). Сложим эти два числа (8 + 1 = 9) и вычтем сумму из рабочего числа. Нашим рабочим числом является 16, поэтому: 16 — 9 = 7.

Разделим 7 на 3, чтобы получить следующую цифру в ответе. 7 при делении на 3 дает 2 с остатком 1.

Переносим остаток к следующей цифре (7) и получаем новое рабочее число 17.

Перемножим накрест две последние цифры ответа с двумя последними цифрами делителя. Затем сложим два полученных результата.

2 х 2 = 4

4 х 1

= 4

4 + 4 = 8

Вычтем 8 из нашего рабочего числа 17: 17 — 8 = 9. Теперь разделим 9 на 3.

Мы знаем, что нам нужен остаток для переноса к следующей цифре. Если мы ничего не перенесем, хватит ли нам величины самой цифры? Да, хватит, поскольку наше следующее перемножение цифр накрест и сложение результатов дадут в сумме 8 (8: 3 = 2 r2, затем 3 х 2 = 6, 2 х 2 = 4, 6 + 2 = 8), однако в этом случае не будет остатка для последнего шага. Поэтому уменьшим 3 до 2 и получим остаток 3.

9: 3 = 2 r3

Нашим следующим рабочим числом будет 38. Перемножаем накрест, а затем складываем результаты:

2 х 2 = 4

2 х 1 = 2

4 + 2 = 6

38 — 6

= 32

Делим 32 на 3 и получаем 9 с остатком 5. (Мы намеренно занизили целую часть, поскольку нам нельзя получить 10 в качестве ответа — ответом должно быть только однозначное число.) Уже сейчас можно сказать, что нам придется вычитать достаточно большое число после перемножения накрест, поскольку одним из множителей является 9.

Наше текущее рабочее число — 50. Умножим накрест:

9 х 2 = 18

2 х 1 = 2

18 + 2 = 20

50 – 20 = 30

Делим 30 на 3 с остатком.

30: 3 = 9 r3

Очередное рабочее число — 30. Умножаем накрест.

3 не делится на 3 с остатком, поэтому следующая цифра в ответе — 0.

Прервем решение на этом месте, получив в качестве ответа число 142,2990, являющееся точным до четвертого знака после запятой. Можно продолжить до любого знака, какого пожелаете.

Разве данный способ не проще стандартного деления в столбик?

Вот несколько примеров для самостоятельного решения:

Попробуйте решить свои собственные примеры, проверяя ответы с помощью калькулятора. В главе 16 мы познакомимся с методом для простой и быстрой проверки того, правильно ли мы решили задачу на деление.

9 х 2 = 18

9 х 1 = 9

18:9 = 27

30 – 27 = 3

а) 7120: 312 = __; б) 4235: 213 = __

Ответы: а) 22,82; б) 19,88

Глава 15

Деление посредством сложения

Данный метод очень хорош для деления на числа, чуть меньшие по величине, чем 10, 100, 1000 и т. д., или такие, как 20, 300, 500 и т. д. Он также служит хорошей иллюстрацией того, что, по сути, представляет собой деление.

Сколько раз 9 делит 10? Один раз с остатком 1. Таким образом, для каждой десятки 9 разделит ее 1 раз и даст в остатке 1. Поэтому число 20 разделится на 9 два раза с остатком 2. Число 40 — четыре раза с остатком 4. И так для каждой десятки в составе числа.