Быстрая математика: секреты устного счета

456 + 189 = 645

Сносим следующую цифру (7).

Теперь нам необходимо разделить 6457 на 1000.

6000 при делении на 1000 дает 6. Теперь умножим 63 на 6. Трудная ли это задача? Нет. 6 на 60 дает 360 и плюс 3 х 6 = 18 — получаем 378.

Прибавим это к 457 и получим наш остаток 835.

Итак, 34567, деленное на 937, дает 36 с остатком 835. Продолжим деление до получения ответа с двумя знаками после запятой.

Добавляем на один нуль после запятой больше, чем требуется для ответа.

Сносим первый нуль и получаем 8350. Сколько раз 1000 содержится в 8000? Восемь, поэтому 8 — это следующая цифра ответа.

8, умноженное на 63, дает 504. (8 на 60 равно 480 и 8 на 3 равно 24. 480 плюс 24 дает 504.)

Снесем следующую цифру (0), это даст нам 8540, затем разделим 8540 на 1000, в результате чего получим опять 8. Мы уже знаем, что произведение 8 х 63 дает 504, поэтому прибавим последнее число к 540 и получим 1044.

Здесь явно что-то не так, потому что мы получили остаток, который больше, чем делитель. Поэтому нам необходимо увеличить последнюю цифру ответа на 1. Вычеркиваем последнюю цифру (8) и заменяем ее на 9. Произведение 9 х 63 равно 567. (9 х 60 = 540, 9 х 3 = 27 и 540 + 27 = 567.)

540 + 567 = 1107

Мы вычитаем 1000, поскольку увеличили последнюю цифру ответа на 1. Снесем последний нуль, чтобы вычислить третью цифру после запятой в ответе. 1070 делится на 1000 один раз. Это дает нам следующее число в ответе: 36,891. Нам нужен ответ с точностью до двух десятичных знаков: округление 36,981 до двух знаков дает 36,98. Задача решена.

Опять заметим, что гораздо легче перемножать 63 с каждой цифрой нашего ответа, чем то же самое делать с 937. Полное решение выглядит следующим образом:

Попробуйте решить следующие примеры самостоятельно: сначала в виде целой части и остатка, а потом с точностью до одного знака после запятой.

а) 456: 194 = __; б) 6789: 288 = __; в) 5678: 186 = __; г) 73251: 978 = __

Если вы столкнулись с проблемами, привожу полное решение каждого примера.

Ответом с точностью до одного знака после запятой является 2,4.

Ответом с точностью до одного знака после запятой является 23,6.

Ответом с точностью до одного знака после запятой является 30,5.

Чтобы умножить на 14, мы просто умножаем на 7, а затем удваиваем ответ (2 х 7 = 14).

Ответом с точностью до одного знака после запятой является 74,9.

В данном примере нам пришлось умножать на 22. Это легко сделать, если вспомнить, что 22 = 2 х 11. Не составляет труда умножать на 2 и 11, если использовать известные нам приемы умножения. Например, нужно умножить на 22 число 8. Умножаем 8 сначала на 2, а потом на 11.

8 х 2 = 16

16 х 11 = 176

При делении на 19, 29 или 39, возможно, лучше применять метод прямого деления, однако, когда делитель чуть меньше 100, 200, 400 или 1000, вы можете счесть более удобным только что рассмотренный метод.

Вы должны быть в состоянии без труда решать в уме такие примеры, как 1312: 96. Речь в данном случае шла бы о делении на 100 — 4. 1300 при делении на 100 дает 13, поэтому вы могли бы сказать про себя почти без пауз и задержек: «Тринадцать и четыре на остаток тринадцать, плюс двенадцать, то есть тринадцать с остатком шестьдесят четыре».

Затем, если вы хотите получить ответ с точностью до одного знака после запятой, умножим остаток 64 на 10 и вновь разделим на 96. 640 при делении на 96 дает 6 с остатком 40 + 24 = 64. Ясно, что так можно продолжать до бесконечности, поэтому можно получить ответ с любым количеством знаков после запятой. Например, ответом с точностью до трех знаков после запятой будет 13,667.

В завершение настоящей главы давайте сравним рассмотренный здесь метод с обычным делением в столбик.

Например:

705: 94 =

Решаем методом сложения:

Сколько раз 100 содержится в 705? Семь раз.

Теперь умножим 7 на 6 и прибавим ответ к 5 (в 705), чтобы получить наш остаток. Не представляет труда перемножить 7 и 6, а затем прибавить 42 к 5.

Теперь сравним это со стандартным делением в столбик.

Сколько раз 94 содержится в 705? Семь раз.

Теперь мы должны умножить 7 на 94 — получаем 658. Затем вычитаем 658 из 705, чтобы получить наш остаток.

Метод, рассмотренный в настоящей главе, предлагает более простое решение, не так ли?

Глава 16

Проверка ответов: часть вторая

Можно использовать изученный ранее метод выбрасывания девяток для проверки ответов в задачах на деление.

Например, мы захотели проверить, дает ли 42, деленное на 2, 21. Проверим это путем выбрасывания девяток. Во-первых, необходимо вычислить числа-подстановки:

42

: 2 = 21

6: 2 = 3

Данный пример совершенно тривиален и пояснений не требует. Рассмотрим следующую задачу:

161: 7 = 23

8: 7 = 5

Здесь нужно выбрать подход, напоминающий тот, что мы использовали в примерах на вычитание. Простой способ проверить ответ в задаче на деление — это умножить ответ на делитель и посмотреть, получим ли мы в результате делимое. Поэтому записываем последнее равенство следующим образом:

8 = 5 х 7 или 7 х 5 = 8

Итак, можно ли сказать, что наш ответ верен, имея в виду, конечно, что речь идет о числах-подстановках?