Быстрая математика: секреты устного счета

Приложение Д

Выбрасывание девяток: секрет метода

Чем объяснить способ выбрасывания девяток? Почему цифры числа дают в сумме остаток от деления на 9?

А секрет вот в чем.

9 равно 10 минус 1. Для каждой десятки, содержащейся в числе, вы получаете одну девятку и остаток 1. Если число содержит два десятка (20), получаем две девятки и остаток

2. 30 дает три девятки и остаток 3.

Рассмотрим число 32: оно состоит из 30, то есть трех десятков, и 2, то есть двух единиц. Находя остаток от деления на 9, в случае 30 получаем три девятки и остаток 3. Две единицы в числе 32 сами являются остатком от деления на 9, поскольку 2 на 9 разделить нельзя. Переносим остаток 3 от 30 и прибавляем его к остатку 2.

3 + 2 = 5

Таким образом, 5 является остатком от деления 32 на 9.

Для каждой сотни в числе мы получаем десять девяток и остаток 10. Он также делится на 9 и дает остаток 1. В результате для каждой сотни имеем остаток 1. Если взять число 300, остатком от деления его на 9 будет 3.

Иначе посмотреть на данное свойство можно таким образом:

1 х 9 = 9 (10 —

1)

11 х 9 = 99 (100 — 1)

111 х 9 = 999 (1000 — 1)

1111 х 9 = 9999 (10000 — 1)

Иными словами, каждая единица в любом разряде числа соответствует одной единице остатка.

Например, в числе 32145 цифра 3 обозначает десятки тысяч — для каждого десятка тысяч будет иметься остаток, равный 1. В данном случае суммарный остаток будет 3. Цифра 2 обозначает тысячи. Для каждой тысячи остаток будет равен 1. То же самое можно сказать и о сотнях, и о десятках. Цифра единиц сама является остатком, если только она не равна 9. В последнем случае мы просто выбрасываем цифру 9.

Таким замечательным свойством обладает число 9. Его можно с успехом применять для проверки ответов и делимости на 9. Помимо того что оно помогает в делении на 9, данное свойство позволяет лучше понять суть деления как операции над числами.

Приложение Е

Возведение в квадрат футов и дюймов

В начальной школе нам приходилось вычислять площадь прямоугольных фигур со стороной, выраженной в футах или дюймах. Метод, которому нас учили, состоял в том, чтобы приводить все к одному измерению — в данном случае к дюймам — и затем умножать.

Например, если нам необходимо найти площадь садового участка со сторонами 3 фута 5 дюймов и 7 футов 1 дюйм, мы переводим длину сторон в дюймы, перемножаем их, а затем делим результат на 144, чтобы получить в целой части квадратные футы, а в остатке — квадратные дюймы.

Однако есть гораздо более простой способ.

Мы проходили его на уроках алгебры, но нам не объясняли, как его можно применить на практике.

Давайте умножим 3 фута 5 дюймов на 7 футов 1 дюйм, используя метод прямого умножения.

Прежде всего обозначим футы буквой f Запишем произведение 3 футов 5 дюймов и 7 футов 1 дюйма следующим образом:

(3f + 5) х (7f +1)

Запишем произведение так:

Теперь используем метод прямого умножения, с которым познакомились в главе 22.

Сначала умножаем 3f на 7f и получаем 21f² (21 квадратный фут).

Теперь перемножаем накрест:

3f х 1 = 3f, плюс 7f х5 = 35f (35 футов на дюйм)

3f + 35f = 38f

Пока наш ответ равен 21f² + 38f.

Теперь перемножим дюймы.

5 х 1 = 5 (5 квадратных дюймов)

Наш ответ: 21f² + 38f + 5.

Иными словами, наш результат — 21 квадратный фут плюс 38 футов на дюйм и плюс 5 квадратных дюймов. (38 футов на дюйм означает 38 прямоугольников с длиной одной стороны 1 фут, а другой — 1 дюйм. 12 таких прямоугольников, расположенных сторона к стороне, дают площадь в 1 квадратный фут.) Разделим 38f на 12 и получим еще 3 квадратных фута, которые в сумме с 21 квадратным футом дадут 24 квадратных фута.

Умножим остающиеся 2 фута на дюйм на 12, переводя их в квадратные дюймы:

2

х 12 = 24

5 + 24 = 29 квадратных дюймов

Наш окончательный ответ: 24 квадратных фута и 29 квадратных дюймов.

Это гораздо более простой способ решения задач такого рода. Он может быть использован для перемножения любых величин, измеряемых не в метрических единицах.

Попробуйте решить следующие примеры самостоятельно:

а) 2 фута 7 дюймов х 5 футов 2 дюйма =

б) 3 фута 5 дюймов х 7 футов 1 дюйм =

Ответы:

а) 13 квадратных футов 50 квадратных дюймов

б) 24 квадратных фута 29 квадратных дюймов

Как успехи? Попробуйте решить снова, на этот раз без ручки и бумаги. Посмотрите, вы считаете, как гений! Ради этого стоило потрудиться.

Приложение Ж

Как добиться того, чтобы ученики любили математику?

Меня часто спрашивают, как мне удается привить своим ученикам любовь к математике? А почему, собственно, они не любят ее?

Являются ли математические игры возможным ответом на вопрос? Надо ли как можно больше привлекать учеников к участию в конкурсах и олимпиадах? Разумеется, я знаю преподавателей, стимулирующих работу в классе путем организации игр и конкурсов, в которых участвует каждый ученик. Однако если ребенок с трудом справляется с вычислениями, подобные мероприятия могут служить тормозом для математического развития ребенка.