Быстрая математика: секреты устного счета

Для определения положительного вспомогательного множителя увеличиваем проверяемый делитель на столько раз, чтобы полученный ответ оканчивался на 9. В качестве вспомогательного берем цифру десятков числа, которое на 1 больше полученного результата.

Например, если мы хотим проверить делимость на 7, умножаем 7 на 7 и получаем 49. 49 на 1 меньше 50. Значит, вспомогательным множителем для 7 является 5.

Чтобы проверить делимость на 13, умножаем его на столько раз, чтобы в разряде единиц ответа оказалась цифра 9:

13 х 3 = 39

39 на 1 меньше 40. Следовательно, для 13 используем в качестве вспомогательного число 4. В случае с 19 нам не нужно умножать его ни на что, поскольку оно уже оканчивается на 9. 19 на 1 меньше 20, поэтому используем 2 в качестве вспомогательного множителя.

Чтобы найти вспомогательный множитель для 23, замечаем, что цифрой единиц является 3. Поскольку 3 х 3 = 9, умножим 23 на 3, получая 69. Это на 1 меньше, чем 70, поэтому берем 7 в качестве вспомогательного множителя.

Почему метод работает?

Если мы хотим проверить, делится ли одно число на другое, прибавление последнего или кратного последнему к первому не повлияет на делимость.

Когда мы проверяем, делится ли 91 без остатка на 7, то на самом деле прибавляем 49 (7 х 7) к 91, получая в ответе 140. Если мы уберем нуль в конце, это никак не изменит результат.

Проверяя, делится ли 112 на 7, мы умножаем 2 на 5 и получаем 10.

После этого 11 + 10 = 21, что, в свою очередь, равно 7 х 3.

Прибавить 100 к 110 — это то же самое, что прибавить 98 (2 х 49 или 7 х 7 х 2) к 112.

98 + 112 = 210

210 = 3 х 7 х 10

Внимательно рассмотрим вспомогательный множитель для 13. Прежде всего определим, какое число является вспомогательным множителем для 13?

3 х 13

= 39

39 на 1 меньше, чем 40, поэтому берем 4 (цифру десятков числа 40) в качестве вспомогательного множителя. Чтобы проверить, делится ли число на 13, умножим цифру единиц на 4 и прибавим к полученной сумме цифру десятков.

Например, делится ли 78 без остатка на 13?

Цифрой единиц является 8:

8 х 4 = 32

32 + 7 (цифра десятков числа 78) = 39 (3 х 13)

Поскольку 39 равно 3 х 13, получаем, что 78 кратно 13. Если мы сомневаемся насчет 39, можно продолжить процесс:

9 х 4 = 36

36 + 3 = 39

Поскольку мы получили то же число, можно с уверенностью сказать, что исходное число без остатка делится на 13. Рассмотрим другой пример. Является ли 351 кратным 13? Цифрой единиц является 1:

1 х 4 = 4

4 + 35 = 39 (39

= 3 х 13)

Итак, мы доказали, что 351 кратно 13.

А как насчет 3289? Делится ли оно без остатка на 13? Проверяемое число оканчивается на 9:

9 х 4 = 36

328 + 36 = 364

Мы не знаем, делится ли 364 на 13, поэтому на этот раз подвергаем проверке число 364.

Его последней цифрой является 4.

4 х 4 = 16

36 + 16 = 52 (52 = 13 х 4)

Если бы мы не знали, что 52 равно 13 х 4, то могли бы продолжить проверку далее.

Цифрой единиц числа 52 является 2.

2 х 4 = 8

5

+ 8 = 13

Теперь мы знаем наверняка, что 3289 без остатка делится на 13.

А как насчет делимости на другие числа из нашего списка в начале главы?

Чтобы проверить делимость на 17, в качестве вспомогательного множителя берем 12; для 19 — 2; для 3–7; для 29 — 3. Данные множители могут быть найдены с помощью метода для определения вспомогательных множителей.

Например, является ли 578 кратным 17?

Большинству из нас деление на 17 покажется довольно непростой задачей. И мы, скорее всего, воспользуемся калькулятором.

Нам известно, что 12 является вспомогательным множителем при проверке делимости на 17. Умножаем 8 (цифру единиц числа 578) на 12.

12 х 8 = 96

96 + 57 = 153

То, что 153 без остатка делится на 17, не является очевидным. Попробуем снова.

3 х 12 = 36

36 + 15 = 51

Если вы не уверены насчет 51, продолжим процесс:

1 х 12 = 12

12 + 5 = 17

Очевидно, что 17 делится без остатка на 17. Поэтому 578 кратно 17.

Замечание: чуть позже я покажу альтернативный метод, с помощью которого можно проверить делимость на 17.

Рассмотрим какой-нибудь пример в обратную сторону. Произведение 7 х 13 равно 91, поэтому 91 является кратным для обоих чисел.

Проверка для 7:

1 х 5 = 5

5 + 9 = 14

14 равно 2 х 7, поэтому 91 без остатка делится на 7. Проверка для 13:

1 х 4 = 4

4 + 9 = 13

Таким образом, 91 делится на 13.

Попробуйте определить делимость самостоятельно:

а) Является ли 266 кратным 19?

б) Является ли 259 кратным 7?

в) Является ли 377 кратным 13?

г) Является ли 377 кратным 29?

Ответ утвердительный в каждом случае.

Отрицательные вспомогательные множители

Проверять делимость на число можно также с помощью отрицательного вспомогательного множителя.