Читаем Две тетради полностью

Две тетради

ПРЕДПОЛОЖЕНИЕ: это правило действует для всех множеств чисел.

ПРОВЕРКА: как строились иррациональные и мнимые числа? Через известные рациональные (дробные) числа и операцию извлечения корня. И операция извлечения корня обратна операции возведения в степень. То есть в этом случае предположение оправдалось.

Запись 43

Есть лишь наблюдение над известными числами и операциями. Нового ничего нет. Вернемся снова к диалектике – предмет надо изучать в развитии. Предметом на сей раз будут операции. Прямые – такие, как сложение, умножение, возведение в степень.

Запись 44

Тут приходится припомнить начальную школу. Сначала нас научили складывать числа. Потом через эту первую прямую операцию построили умножение – вторую прямую операцию. Я хорошо помню, как наша первая учительница Мария Андреевна объясняла это.

3+3 = 3*2….. 3+3+3+3 = 3*4

Этих двух примеров достаточно, чтобы вспомнить это.

А теперь введем нумерацию прямых операций: сложение – первая прямая операция. Обозначим ее так: [1]. Умножение – вторая прямая операция. Обозначим ее так: [2].

Теперь перепишем эти два примера в новых обозначениях:

3 [1] 3 = 3 [2] 2…… 3 [1] 3 [1] 3 [1] 3 = 3 [2] 4

Запись 45

НАБЛЮДЕНИЕ: новая прямая операция определенным образом строится по прямой операции с номером на единицу меньше, чем у новой.

ПРЕДПОЛОЖЕНИЕ: таким образом строятся все прямые операции.

ПРОВЕРКА: Попробуем построить таким образом прямую операцию с номером 3. Она будет обозначаться так: [3]. Теперь возьмем первый пример и заменим в его правой части операцию [2] на операцию [3], а в левой его части операцию [1] заменим на операцию [2]. Тогда получим соотношение:

3 [2] 3 = 3 [3] 2

По известной операции [2] установим, что

3 [2] 3 = 3 [1] 3 [1] 3 = 9

Значит 3 [3] 2 = 9. В этом примере оказалось, что операция [3] совпадает с операцией возведения в степень. А это тоже прямая операция. Значит предположение в этом примере подтверждено.

Запись 46

Попробуем теперь построить прямую операцию с номером 4. В первом примере увеличим номера операций еще раз на единицу:

3 [3] 3 = 3 [4] 2

Зная, что операция [3] есть возведение в степень, получим:

3 [3] 3 = 27

То есть 3 [4] 2 = 27.

Проделаем то же самое со вторым примером. Увеличим в нем номера операций тоже на 2:

3 [3] 3 [3] 3 [3] 3 = 3 [4] 4

Но здесь возникает другая трудность – в каком порядке выполнять операции в левой части? Есть два варианта:

((3 [3] 3) [3] 3) [3] 3 ……….. и … 3 [3] (3 [3] (3 [3] 3))

Если мы хотим построить прямую операцию, то из ее обратных операций должны рождаться новые числа. В данном случае решение некоторого уравнения с участием 4-й прямой операции должно быть не в комплексных числах (они строились по 3-й прямой операции). Например, уравнения: x [4] a = b………. d [4] x = f …. где a, b, d, f – произвольные комплексные числа. Проверке подлежат оба варианта, хотя первый вариант вызывает сомнения.

Запись 47

Напомним вкратце рождение новых чисел для операций [1], [2], [3].

x = 2 [1] 3 = 5 это прямая операция [1] для натуральных чисел

5 = 2 [1] x ….x = 3 это обратная операция для [1] 2 = 5 [1] x ………. величины x нет среди натуральных чисел. Приходится вводить новое число: x = -3, вводятся новые числа – отрицательные. Те и другие вместе – целые числа.

x = 2 [2] 3 = 6 прямая операция [2] для целых чисел.

6 = 2 [2] x …x = 3 это обратная операция для [2] 6 = 4 [2] x …. величины x нет среди целых чисел. Приходится вводить новое число: x = 6/4. Так вводятся дробные числа. Целые и дробные числа вместе – рациональные.

x = 2 [3] 3 = 8 это прямая операция [3] для рациональных чисел.

8 = x [3] 3 …x = 2 это первая обратная операция для [3]

8 = 2 [3] x …x = 3 это вторая обратная операция для [3]

2 = x [3] 2 ……… величины x нет среди рациональных чисел. Приходится вводить новое число: x = квадратный корень из 2. Это иррациональное число. Рациональные и иррациональные числа вместе – действительные числа.

– 1 = x [3] 2 ……. величины x нет среди действительных чисел. Приходится вводить новое число: x = квадратный корень из —1. Так вводятся мнимые числа. Действительные и мнимые числа вместе называются комплексными числами.

А теперь дошел черед и до 4-й прямой операции.

x = 3 [4] 2 = 27 это прямая операция [4] для комплексных чисел.

27 = x [4] 2..x = 3 это первая обратная операция для [4].

27 = 3 [4] x..x = 2 это вторая обратная операция для [4].

– 1 = 3 [4] x… Вопрос: есть ли среди комплексных чисел такое число x? Этого я не могу установить. Если такого числа нет среди комплексных чисел, то значит, появилось новое число. Если же найдется такое комплексное число x, то можно пробовать другие сочетания чисел в этом уравнении, чтобы в конце концов найти неразрешимость в комплексных числах.

Может, эта новая прямая операция [4] вместе с ее двумя обратными операциями и не даст новых чисел. Но поисследовать ее любопытно (для молодых математиков, у которых есть на это время).