Эта странная математика

Похожее потрясение испытали Пифагор и его последователи, убежденные, что все во вселенной в конечном счете можно описать целыми числами. Ведь даже обыкновенные дроби – это всего лишь одно целое число, деленное на другое. Но квадратный корень из 2 – длина гипотенузы прямоугольного треугольника с катетами по единице – никак не вписывался в эту стройную космическую схему. Это было “иррациональное” число, невыразимое в виде отношения двух целых чисел. Если попытаться представить его в виде десятичной дроби, количество знаков после запятой разрастается до бесконечности, а какой-либо четко повторяющейся группы цифр не возникает. Пифагорейцы всех этих тонкостей не знали, их беспокоило только то, что в их совершенный мир затесалось мерзкое чудище в виде квадратного корня из 2, а потому они тщательно скрывали его существование.

Эти два примера иллюстрируют основную проблему, связанную с постижением бесконечности. Наше воображение без труда справляется с тем, что еще не достигло своего конца: мы всегда можем представить себе, как любое расстояние увеличивается еще на шаг, к любому количеству предметов добавляется еще один. Но бесконечность в обобщенном значении, как понятие, в голове не укладывается. Математики издавна бились с ней, поскольку привыкли в своей области иметь дело с точными величинами и тщательнейшим образом определенными понятиями. А как можно работать с объектами, которые точно существуют, но никогда не заканчиваются, – с числом вроде √2 (начинающимся с 1,41421356237… и продолжающимся все дальше и дальше без видимого порядка и предсказуемых повторов) или кривой, что прижимается к прямой все теснее и теснее, – и при этом избежать встречи с бесконечностью? Аристотель предлагал возможное решение, утверждая, что бесконечность бывает двух видов. “Актуальная” (или “завершенная”) бесконечность, которой, по мнению Аристотеля, в реальности не существует, – это безграничность полностью реализованная, фактически достигнутая (математически или физически) в какой-то момент времени. “Потенциальная” бесконечность, которую Аристотель считал очевидно проявляющейся в природе – например, в нескончаемом чередовании времен года или безграничной делимости слитка золота (про атомы он не знал), – это беспредельность, протекающая в не имеющем границ времени. Это принципиальное разграничение между актуальной и потенциальной бесконечностью просуществовало в математике более двух тысяч лет.

В 1831 году сам Карл Гаусс высказался по поводу “ужаса актуальной бесконечности” так:

…Я протестую против пользования бесконечной величиной в качестве законченной, каковое пользование в математике никогда не дозволяется. Бесконечное является лишь façon de parler[39], между тем как речь идет собственно о пределах, к которым известные отношения приближаются произвольно близко, тогда как другим предоставляется возрастать без ограничения[40].

Взгляд в бесконечность.

Ограничившись изучением потенциальной бесконечности, математики смогли разрабатывать такие важнейшие понятия, как бесконечные ряды, пределы и бесконечно малые величины, придя таким образом к математическому анализу, но не признавая при этом бесконечность в качестве самостоятельного математического объекта. И все же еще в Средние века они сталкивались с парадоксами и неразрешимыми задачами, а это значило, что от актуальной бесконечности нельзя просто отмахнуться. Эти неразрешимые задачи проистекали из принципа, согласно которому всем элементам одного набора объектов возможно найти пару в другом наборе объектов того же размера. Но вот когда этот принцип пытались применить к неограниченно большим наборам, он открыто противоречил продиктованной здравым смыслом идее, впервые высказанной Евклидом: что целое всегда больше, чем любая его часть. К примеру, казалось вполне возможным образовать пары из всех положительных целых чисел и только тех из них, которые являются четными: единице противопоставить двойку, двум – четыре, трем – шесть и так далее, несмотря на то что положительные целые числа включают в себя и четные тоже. Изучавший эту проблему Галилей первым предложил более просвещенный подход к бесконечности, заявив: “Бесконечность должна подчиняться иной арифметике, нежели конечные числа”.