Эта странная математика

Кантор понял, что хорошо известный принцип попарного разбиения, который используют для того, чтобы определить, равны ли два множества, можно с таким же успехом применить и к бесконечным множествам. Из него следовало, что четных положительных целых чисел на самом деле столько же, сколько положительных целых чисел всего. Кантор не только увидел, что никакого парадокса тут нет, – он осознал, что это определяющее свойство бесконечного множества: целое в нем не больше, чем какие-либо из частей. Далее он доказал, что множество всех натуральных, или положительных целых, чисел – 1, 2, 3, … (иногда в него включают и 0) – содержит точно такое же количество элементов, что и множество всех рациональных чисел, то есть тех, которые можно записать в виде обыкновенной дроби, где и числитель, и знаменатель целые. Он назвал это бесконечно большое число “алеф-ноль” (ﬡ₀), где “алеф” – это первая буква еврейского алфавита.

Вы можете решить, что есть только одно бесконечно большое число, ведь, раз оно и так бесконечно большое, как может что-то быть еще больше? Но будете неправы. Кантор доказал, что существуют разные виды бесконечности, из которых алеф-ноль – самая маленькая. Бесконечно больше алеф-нуля число алеф-один (имеющее, по выражению Кантора, бо́льшую “мощность”). Алеф-два, в свою очередь, бесконечно больше, чем алеф-один, и так далее, без конца. Насколько хватит нашего слабого воображения, алефы следуют друг за другом бесконечной вереницей. Но и это еще не все: оказывается, на каждый алеф приходится бесконечное количество других бесконечно больших чисел, и вот здесь нам придется разобраться с тем, насколько важно в царстве бесконечного различать количественные и порядковые числительные.

В повседневной речи и практической арифметике количественными числительными мы обозначаем количество объектов в каком-то наборе: один, пять, сорок два и так далее; а порядковыми, как подсказывает само название, – их порядок или положение в группе: первый, пятый, сорок второй и так дальше. Различие между этими двумя типами числительных кажется очевидным и не очень существенным. Допустим, речь идет о карандашах. Понятно, что невозможно иметь пятый карандаш, не имея в наборе как минимум пяти карандашей. Ясно и то, что если карандашей в наборе, скажем, семь, то пятый среди них все равно есть. Бывает, конечно, и так, что пять карандашей есть, а пятого нет, – если мы не расположили их в определенном порядке. Но если отвлечься от этих тонкостей, и для тех и для других числительных мы можем использовать одинаковые символы – 1 (или 1-й), 5 (или 5-й), 42 (или 42-й) и так далее, – не особенно вникая в то, чем отличаются друг от друга эти две категории. Кантор понял, что, когда дело касается бесконечно больших чисел, это различие становится крайне важным. Чтобы понять, что он имел в виду, давайте пробежимся по той области математики, в развитии которой Кантор и Дедекинд сыграли решающую роль, а именно по теории множеств.

Множество – это всего лишь набор объектов: хоть чисел, хоть любых других. На письме для обозначения множества используются фигурные скобки: например, {1, 4, 9, 25} или {стрела, лук, 75, R}. Размер множества, то есть количество содержащихся в нем элементов, называется его кардинальным[41] числом (или мощностью) и обозначается количественным числительным. В двух только что упомянутых множествах по четыре элемента, значит, у обоих кардинальное число равно четырем. Если два множества имеют одинаковое кардинальное число, то для каждого элемента одного множества можно найти пару во втором, причем ни один элемент не останется лишним; другими словами, между этими двумя множествами имеется взаимно однозначное соответствие. Например, чтобы показать, что два наших множества имеют одно и то же кардинальное число, мы можем элементу 1 из первого поставить в соответствие 75 из второго, элементу 4 – “стрелу”, элементу 9 – R, а элементу 25 – “лук”. Конечные кардинальные числа (то есть те, что определяют размер конечных множеств) – это обычные натуральные числа: 0, 1, 2, 3 и так далее. Первое бесконечное кардинальное число – это алеф-ноль, которым, как мы уже знаем, обозначается размер множества всех натуральных чисел.