Эта странная математика

Если говорить о конечном множестве, то разница между его мощностью (кардинальным числом, обозначаемым количественным числительным) и его “длиной” (которая обозначается порядковым числительным) настолько несущественна, что может показаться пустой придиркой. Другое дело – множество бесконечное: Кантор понял, что тогда это совершенно разные вещи. Чтобы и мы сумели понять, насколько велико различие между ними, разберемся, что из себя представляет “вполне упорядоченное” множество. Множество считается вполне упорядоченным, если оно удовлетворяет двум условиям: во-первых, оно должно иметь определенный первый элемент; во-вторых, каждое из его подмножеств, или подгрупп, также должно иметь начальный элемент. Например, конечное множество {0, 1, 2, 3} является вполне упорядоченным. А вот множество всех целых чисел, включающее вместе с положительными и отрицательные числа, – {…, –2, –1, 0, 1, 2, …} – назвать вполне упорядоченным уже нельзя, поскольку оно не имеет первого элемента. Множество всех натуральных чисел {0, 1, 2, 3, …} – вполне упорядоченное: у него хоть и нет конкретного концевого элемента, зато первый имеется, как и у всех его подмножеств, содержащих только натуральные числа.

Так вот, очень важно понимать, что вполне упорядоченные бесконечные множества, имеющие равный размер, или мощность (то есть с одинаковыми кардинальными числами), могут иметь разную “длину”. Понять такое непросто, даже математику. Строго говоря, правильнее было бы сказать не “разную длину”, а “разные порядковые числа” (или “ординалы”[42]), но для удобства будем оперировать знакомыми терминами. Возьмите множества {0, 1, 2, 3, 4, …} и {0, 1, 2, 4, …, 3}. Многоточие, стоящее в них после четверки, означает “и так далее до бесконечности”; правда, во втором случае после многоточия, в самом конце, стоит тройка. Оба множества содержат все натуральные числа, а значит, у них одинаковая мощность, или кардинальное число, – алеф-ноль. Но второе множество чуть длиннее. Поначалу это может показаться нелепостью: ведь если бы речь шла о конечных множествах, было бы очевидно, что {0, 1, 2, 3, 4} и {0, 1, 2, 4, 3} имеют одинаковую длину, поскольку оба содержат по пять элементов. Но бесконечные множества страшно обманчивы. У множества {0, 1, 2, 3, 4, …} нет конечного концевого элемента – многоточие требует идти дальше до бесконечности без остановок. С множеством {0, 1, 2, 4, …, 3} дело обстоит по-другому. Да, оно тоже содержит последовательность элементов, у которой нет конца. Но в него входит еще один элемент, стоящий после всех элементов бесконечной последовательности. Если просто изъять тройку, то последовательности 0, 1, 2, 3, … и 0, 1, 2, 4, … будут равны по длине; иными словами, каждому элементу первой можно противопоставить по одному элементу второй, и ничего лишнего не останется. А вот если ту же тройку переставить в самый конец, так чтобы она шла после бесконечной последовательности, тогда длина увеличивается на единицу. Посудите сами: в первом множестве {0, 1, 2, 3, 4, …} есть первый элемент (0), второй элемент (1), третий элемент (2), четвертый элемент (3) и так далее. Во втором тоже есть первый элемент (0), второй (1), третий (2), четвертый (4) и так далее. Но есть и еще один элемент, 3, который не является ни одним из предыдущих. Порядковый номер, который мы закрепляем за тройкой, – не ее числовое значение, а то место, на каком она стоит в множестве, – больше любого другого из идущих перед ней, поскольку она появляется после всех остальных элементов множества.

Для этого класса бесконечных чисел нам нужна какая-то особая система названий, отличная от алефов. Математики называют наименьшее бесконечное порядковое число, или ординал, – то есть самую короткую “длину” множества всех натуральных чисел – “омегой” (ω). Ординал множества {0, 1, 2, 4, …, 3}, где после всех остальных натуральных чисел стоит 3, на единицу больше и обозначается ω + 1. Иначе говоря, 3 – это (ω + 1) – й элемент множества {0, 1, 2, 4, …, 3}. Пусть вас не смущает знак “плюс” в этой записи: здесь он означает не привычное нам сложение, а то, что ординал ω + 1 следует за ω. К омеге можно что-то прибавить, но отнять от нее невозможно. Ординал множества {0, 1, 2, 4, …}, даже с изъятой тройкой, – все равно ω. Такого понятия, как ω – 1, просто не существует. Это может показаться странным, но только потому, что мы привыкли иметь дело с конечными числами. Невозможно уменьшить “длину” множества всех натуральных чисел, какое бы огромное конечное количество элементов вы из него ни изъяли, – в силу того простого факта, что это множество бесконечно, как следует из его записи: {0, 1, 2, 4, …}. С другой стороны, увеличить его “длину” совсем несложно – достаточно подставить изъятые из него элементы в конец.