Эта странная математика

Алеф-ноль ведет себя не так, как привычные нам числа. Если 1 + 1 дает в результате 2, то алеф-ноль + 1 – все равно алеф-ноль. Алеф-ноль плюс любое конечное число или минус любое конечное число остается алеф-нулем. Известная детская песенка при этом приобретает новый, более оптимистичный характер: “Алеф-ноль поросят резвились на просторе, / Алеф-ноль поросят пошли купаться в море. / Один из них утоп, ему сложили гроб, / И вот вам результат: / Эх, алеф-ноль поросят” (повторять бесконечно). Алеф-ноль невозможно изменить вычитанием, сложением или умножением на какое бы то ни было конечное число и даже на само себя. Но Кантору удалось доказать с помощью теоремы, носящей сегодня его имя, что все бесконечности выстраиваются в иерархию и алеф-ноль – самая маленькая из них. Следующее бесконечное кардинальное число, алеф-один, гораздо больше и равно размеру множества всех счетных ординалов, а именно тех, которым соответствует кардинальное число алеф-ноль. Наглядно продемонстрировать ординалы, соответствующие мощности алеф-один, в виде последовательности непросто. В качестве примера можно привести множество {0, 1, 2, …, ω, ω + 1, …, ω × 2, …, ω², …, ω^ω, …, ε₀, …}, включающее все счетные ординалы (то есть все различные возможные “длины”, которые можно получить путем перестановки натуральных чисел). Ординал такого множества, его порядковое число – омега-один (наименьший ординал, соответствующий алефу-один).

Напомним, что значит “счетный”: это попросту последовательность или множество, элементы которых можно посчитать, пронумеровать. Иными словами, “счетным” мы вправе назвать то, из чего можно составить последовательность, пусть и не обязательно упорядоченную привычным образом. Иногда для этого требуется некоторая перестановка, как в случае с отелем Гильберта. Поскольку все натуральные числа счетные, алеф-ноль, то есть мощность множества натуральных чисел, называют счетно-бесконечным кардинальным числом. Ему соответствует наименьший бесконечный счетный ординал ω, а также бесконечно много других счетно-бесконечных ординалов. Существование этого бесконечного количества счетных ординалов обусловлено тем, что в случае порядковых чисел существенную роль, как подсказывает их название, играет порядок элементов, а потому между ординалами требуется проводить более тонкое различие, чем между кардинальными числами. Несмотря на это, все счетные ординалы, начиная с ω и дальше, включая числа эпсилон и остальные, соответствуют одному и тому же кардинальному числу – алеф-нулю. Но вот с переходом к алефу-один все разительно меняется. Алеф-один не только неописуемо больше, чем алеф-ноль, он еще и несчетный. Ему соответствует наименьший несчетный ординал: омега-один (ω₁).

Мы уже говорили, что алеф-один – это размер множества счетных ординалов, но можно ли его описать как-то по-другому? С алефом-ноль все понятно: это мощность множества натуральных чисел. А нельзя ли и алефу-один поставить в соответствие что-нибудь знакомое, доступное для понимания? Кантор считал, что можно. Он утверждал, что алеф-один идентичен общему количеству точек на математической прямой, которое, как он установил, в свою очередь, равно количеству точек на плоскости (как бы невероятно это ни звучало) или в пространстве любой другой размерности. Эта бесконечность пространственных точек, называемая континуумом и обозначаемая буквой c, является также множеством всех действительных чисел (включающим в себя все рациональные числа плюс все иррациональные). Действительные числа, в отличие от натуральных, сосчитать невозможно. Предположим, вас спросили бы, какое число следует в ряду действительных чисел за 357. Как бы вы ни тасовали действительные числа, какими бы способами ни пытались их пронумеровать, все равно останутся те, что вы никогда не сумеете сосчитать, даже если заниматься этим вечно.

Кантор выдвинул предположение, получившее известность как “континуум-гипотеза”. Согласно ей, c равно алефу-один, или, другими словами, не существует бесконечного множества с мощностью, занимающей промежуточное положение между мощностями множества натуральных чисел и множества действительных чисел. Однако, несмотря на все старания, Кантору так и не удалось ни доказать, ни опровергнуть свою гипотезу. Сегодня мы уже знаем почему – и ответ на этот вопрос расшатывает самые основы математической науки.