Форма реальности. Скрытая геометрия стратегии, информации, общества, биологии и всего остального

Тот факт, что любое целое число[196], каким бы большим и сложным оно ни было, можно выразить как произведение простых множителей, вероятно, впервые был доказан примерно в конце XIII века персидским математиком (и пионером в оптике – в те времена специализация была менее распространена) Камалом ад-Дин аль-Фариси в трактате (Тадхкират аль-Ахбаб фи байан аль-Тахабб «Записки для друзей о доказательстве дружественности»[197]).

С учетом вышесказанного это может показаться странным. Почему потребовалось почти две тысячи лет, чтобы пройти от определения простого числа у пифагорейцев до теоремы аль-Фариси? Здесь снова причина в геометрии. Евклид определенно понимал факты, из которых для современного специалиста по теории чисел немедленно следует вывод, что любое простое число можно разложить на простые: некоторые на кучу простых, как 1024, или только на одно, как 1009, или на нечто среднее, как 1001. Однако Евклид не пишет о произведениях большого количества простых множителей, и мы предполагаем, что причина в том, что он просто не мог этого сделать. Для Евклида все было геометрией, поэтому любое число он представлял как длину какого-то отрезка. Сказать, что число делится на 5, – значит сказать, что на этом отрезке укладываются пять одинаковых отрезков меньшей длины. Когда Евклид умножает два числа, он представляет результат в виде площади прямоугольника, длина и ширина которого – те два числа, что мы перемножили (сомножители). Когда Евклид умножает три числа, он называет результат телесное, поскольку воспринимает его как объем прямоугольного кирпича с длиной, шириной и высотой, равными сомножителям[198].

Математика в основе своей – творческое занятие, которое задействует все наши когнитивные и творческие способности. Когда мы занимаемся геометрией, мы используем то, что наш разум и тело знают о размерах и форме тел в пространстве. Евклид добился успехов в теории чисел не в перерывах между занятиями геометрией, а благодаря своим работам по геометрии. Воспринимая числа как длины отрезков, он смог понять их лучше своих предшественников. Однако привязка теории чисел к геометрической интуиции одновременно и ограничивала его. Произведение двух чисел было площадью прямоугольника, а трех чисел – объемом кирпича-параллелепипеда. А произведение четырех чисел? Это не та величина, которую можно реализовать в трехмерном пространстве, где мы живем. Поэтому такие величины Евклид обходит молчанием. Более алгебраический подход математиков средневековой Персии был не так сильно привязан к нашему физическому опыту и поэтому лучше способствовал переходу к чисто умственным абстрактным сферам. Однако это не означает, что в нем нет геометрии. Как мы уже видели, геометрия не ограничивается тремя измерениями, их может быть сколько угодно. Просто нужно больше напряжения при воображении. Мы доберемся и до этого.

ДЕРЕВО ИГРЫ «НИМ»

Мы видели, что игра «Ним», подобно организации железной дороги или неизбежному человеческому падению в греховную пропасть, описывается каким-то конечным деревом. Независимо от того, каким путем пойдут игроки по ветвям, в итоге они оказываются в конечной точке, в листе; кто-то выиграл, а кто-то проиграл.

Но кто?

Оказывается, дерево может нам сказать и это.

Фокус в том, чтобы начать с конца игры. Это самый простой способ определить, кто выигрывает! Если камней не осталось, то тот, кто только что сделал ход, выиграл. Так что, если моя очередь ходить, а камней нет, я проиграл. Чтобы отследить это, я украшу дерево игры, нарисованное ранее, надписав букву П над всеми позициями, где нет камней. Это напомнит нам, что я проигрываю, если окажусь в одной из этих позиций при своем ходе.

А если есть всего один камень? Тогда у меня только один вариант. Я беру камень и выигрываю. Поэтому я пишу букву В над каждой такой позицией.

Как насчет двух камней в одной куче? Теперь ситуация усложняется, поскольку у меня есть выбор. Я могу взять оба камня и, сделав это, выиграю. Но если я глуп, невнимателен, извращен или, наоборот, великодушен и беру всего один камень, то я оставляю противнику выигрышную позицию, которую мы только что обозначили буквой В, и проигрываю. Какой буквой нужно обозначить позицию, где все зависит от моих действий? Будем исходить из того, что игроки в конкурентных играх не отличаются глупостью, невнимательностью, извращенностью или великодушием, а хотят победить и всегда выбирают тот ход, который ведет к победе. Поэтому обозначим такую позицию В. Уточняю: это вовсе не значит, что я выиграю, что бы я ни делал дальше. В большинстве игр это вовсе не так: какой бы хорошей ни была ваша позиция, всегда есть риск сделать неудачный ход. Буква В просто означает, что один из имеющихся у меня ходов ставит моего противника в проигрышную позицию. Вы можете рассматривать это как «путь к победе».

Две кучки по одному камню – совершенно другое дело. Что бы я ни делал, я ставлю соперника в позицию В, обеспечивающую ему выигрыш. Следовательно, ее нужно подписать буквой П.