Форма реальности. Скрытая геометрия стратегии, информации, общества, биологии и всего остального

Подобным рассуждениям (о доказательстве) нужно учить на уроках математики, и особенно геометрии. Мы наблюдаем (возможно, чисто мысленно или сыграв много раз), что четыре или восемь флагов – это проигрышные состояния; анализируем и начинаем понимать, почему проигрывают не только четыре, восемь, но и любое число, кратное четырем. После этого при желании можно выстроить более формальную цепочку рассуждений, показывающую, что вы проигрываете каждый раз, когда число флагов кратно четырем.

Доказательство – это кристаллизованная мысль. Оно берет блестящий радостный момент «понимания» и фиксирует его на странице, чтобы мы могли поразмышлять над ним на досуге. Что еще важнее, мы можем поделиться доказательством с другими людьми, в чьем сознании оно снова оживает, словно одна из тех выносливых микробных спор[203], которые настолько жизнестойки, что могут выдержать путешествие в космос на метеорите и колонизировать новую планету после удара. Доказательство позволяет мыслям перемещаться. Считается, что мы, математики, стоим на плечах гигантов, но я предпочитаю говорить, что мы идем по лестнице застывших мыслей обычных людей. Мы добираемся до вершины, окропляем своими мыслями лед, они примерзают к нему и делают лестницу еще выше. Может, это не столь выразительно, зато гораздо правдивее.

И ТАК ДАЛЕЕ…

Я сказал, что мы доказали теорему. Нужно ли нам записать доказательство? Давайте запишем.

Теорема флагов: если количество флагов равно 4, 8, 12 или любому числу, кратному 4, то первый игрок проигрывает; в противном случае первый игрок выигрывает, выбирая такое количество флагов, чтобы противнику оставалось число, кратное 4.

А теперь доказательство. Может быть, вы уже сочли мои рассуждения убедительными. Надеюсь, что так! Однако в них есть слабое место – словосочетание «и так далее…». Это многоточие указывает на нечто недосказанное, а в доказательстве такого быть не должно.

Что происходит, когда мы пытаемся озвучить невысказанное? Мы упомянули 4, 8, 12 и 16 флагов, но не 20, поэтому могли бы добавить в обсуждение и их. Но тогда нам нужно было бы рассмотреть случай с 24 флагами, а это неизбежно приведет к варианту с 28 флагами. И так далее. Вот в чем настоящая проблема! Бесконечно длинное доказательство бесполезно! Кто будет его читать? И все же такая ситуация отдает некоторым пренебрежением – человек машет руками и говорит: «Я мог бы продолжать и дальше, но не буду».

Попробуем действовать иначе. Например, разобьем теорему флагов на две части.

ТФ1.

Если количество флагов равно 4, 8, 12 или любому кратному числа 4, то первый игрок проигрывает.

ТФ2. Если количество флагов не равно числу, кратному 4, то первый игрок выигрывает.

Почему мы считаем, что утверждение ТФ1 истинно? Потому что, сколько бы флагов мы ни взяли, у противника остается количество флагов, не кратное 4. Поэтому, согласно ТФ2, такая ситуация отмечается буквой В, а значит, по второму правилу, моя текущая позиция – П. Таким образом, утверждение ТФ1 истинно, если утверждение ТФ2 истинно. На языке логики мы бы сказали: из ТФ2 следует ТФ1.

Похоже, наметился прогресс! Нам нужно было доказать две вещи, а теперь только одну. Так почему ТФ2 истинно? Предположим, что количество флагов не кратно 4. Тогда вы можете его уменьшить до кратного 4, взяв 1, 2 или 3 флага[204]

. Теперь, согласно ТФ1, вы поставите оппонента в положение П. Но если вы можете перевести текущую позицию в П, то, исходя из первого правила, сама текущая позиция – В.

Итак, подытожим: ТФ1 истинно, поскольку ТФ2 истинно, а ТФ2 истинно, потому что истинно ТФ1.

Ой-ой-ой!

Уж очень напоминает порочный круг – то самое печальное рассуждение, когда вы воспринимаете утверждение как его собственное обоснование. Большинство из нас слишком умны, чтобы уговорить себя применить это непосредственно, поэтому мы строим небольшой цикл утверждений, где каждое последующее вытекает из предыдущего.

«Я не верю ничему, прочитанному в газете “Сердитый знаток”, ей верить нельзя. Откуда я знаю, что ей нельзя верить? Потому что там вечно публикуют лживые истории. Откуда я знаю, что они лживые? Потому что я читаю их в газетенке “Сердитый знаток”, а ей не стоит верить».

Получилась своего рода математическая ловушка.