Форма реальности. Скрытая геометрия стратегии, информации, общества, биологии и всего остального

Когда у вас больше двух куч, простое соображение о симметрии не работает. Тем не менее все равно есть способ узнать, кто победит, не рисуя дерево целиком. Мы не станем описывать здесь все решение, включающее перевод количества камней во всех кучах в двоичную систему, но вы можете его найти в удивительно яркой, глубокой и богатой идеями книге Элвина Берлекэмпа, Ричарда Гая и Джона Конвея Winning Ways for Your Mathematical Plays («Выигрышные стратегии в математических играх»), наряду с другими играми, такими как «Хакенбуш», «Снорт», «Рассада», и объяснением, почему каждая игра в итоге – своего рода число.

В варианте игры «Ним» под названием «Игра с вычитанием» вы начинаете с одной кучи камней и вам разрешается взять только 1, 2 или 3 камня. Побеждает игрок, взявший последний камень. Эта игра тоже представляет собой дерево, и вы можете аналогичным образом проанализировать ее, начиная с конца. Эта версия «Ним» получила известность благодаря появлению в качестве задания для участников пятого сезона реалити-шоу Survivor («Последний герой»), который снимался в Таиланде. (Там игру назвали не «Ним» и не «Игра с вычитанием», а «Тай 21», хотя у нее нет тайских корней; возможно, такое название ориентировано на американскую аудиторию, которая склонна считать вещи азиатского происхождения мудреными и непостижимыми.) По той же причине сохраняется неискоренимая традиция описывать «Ним» как древнюю китайскую игру, хотя это, видимо, полностью вымышлено: впервые она упоминается[200] в книге математических головоломок и фокусов Луки Бартоломео де Пачоли, который был другом Леонардо да Винчи, францисканским монахом и общепризнанным «отцом двойной бухгалтерии». (Неужели это менее интересно, чем происхождение из Древнего Китая?)

Особенность шоу Survivor в том, что его принято считать одним из самых глупых на телевидении, хотя в действительности оно одно из самых умных. Вы много видели шоу, где в реальном времени можно наблюдать, как люди думают? Не говоря уже о занятиях математикой?! Именно это предлагает шестой эпизод пятого сезона шоу Survivor. Тед Роджерс – младший, крупный сильный мужчина, поигравший совсем недолго за «Даллас Ковбойс»[201], берет на себя инициативу и говорит сокомандникам: «В конце нам надо сделать так, чтобы осталось четыре флага». (В версии игры для шоу используются не камни, а флаги.) «Пять или четыре?» – уточняет Джейн Джентри, леди из Техаса из группы Роджерса. «Четыре», – настаивает мужчина.

Роджерс в уме проделал то же вычисление, что и мы для игры «Ним», подойдя к задаче с позиции математика – с конца. Это неудивительно: в глубоких зонах мозга, выстраивающих стратегии, все мы – математики, независимо от того, что написано на наших визитках.

Если остался один флаг, то это буква В; вы забираете его и выигрываете. С двумя и тремя флагами ситуация не меняется, поскольку у вас остается возможность забрать все флаги и победить. А как насчет четырех флагов?

Какой бы ход участники шоу ни сделали, они оставляют противникам букву В. Поэтому, согласно второму правилу, четыре флага – это П. Большой Тед прав: оставьте второй команде четыре флага – и обеспечите себе победу. Оппоненты это тоже осознали, но поздно: взяв три флага из девяти и оставив шесть, они ошеломленно смотрят друг на друга, и один из них говорит: «Если они берут два, мы проиграем». Увы, противники делают это и выигрывают[202].

Запоздалое озарение их не спасло, но оно все еще полезно для нас. Почему невыгодно оставаться с четырьмя флагами? Потому что на каждый ваш ход противник дает естественный ответ. Вы берете два, и они два. Вы один, они – три. Вы три, они – один. Во всех случаях все четыре флага разобраны, игра окончена, победитель не вы.

Так что правильная игра – оставить оппоненту четыре флага. И если перед вашим ходом их пять, шесть или семь, то нужно оставить противнику фатальную четверку. Но если перед вами восемь флагов, то в вашем шардоне плавает черная муха. Возьмете три – оппоненты возьмут один. Возьмете два – они тоже два. Возьмете один – они три. И с четверкой встречаетесь вы.

Звучит знакомо? Потому что начать с восьми флагов – все равно что с четырех. Что бы вы ни сделали, ответным ходом противник уменьшает суммарное количество флагов на четыре. Начать с двенадцати – все равно что начать с восьми, а начать с шестнадцати – все равно что с двенадцати и так далее…

Если вы начинаете с количества флагов, кратного четырем, вы проиграете; в противном случае выиграете, но при условии, что будете брать верное число флагов, чтобы оставлять противнику фатальные числа.

Поздравляю! Мы только что доказали теорему.