Форма реальности. Скрытая геометрия стратегии, информации, общества, биологии и всего остального

К счастью, выход есть. Подумайте снова о нашем исходном аргументе, который (если не считать досадного многоточия) был весьма убедителен, и это вполне справедливо. Ведь он опирался на нисходящую схему: вы доказали факт о шестнадцати флагах, используя факт о двенадцати, который, в свою очередь, доказали с помощью факта о восьми, а его, в свою очередь, с помощью факта о четырех флагах. Такой процесс не может длиться вечно и должен прекратиться, потому что целые положительные числа не могут бесконечно уменьшаться. Это тоже геометрия! На непрерывном пути мы можем просто приближаться к конечной точке, делая бесконечное число все более крошечных шажков. Однако геометрия целых чисел дискретна, а не непрерывна; они похожи на последовательность камней, по которым вы прыгаете. На вашем пути не так много камней, и в конце концов он заканчивается. Звучит несколько знакомо, верно? Да потому что мы уже говорили об этом несколько страниц назад, когда обсуждали, что факторизация чисел в итоге приводит к куче простых множителей, которые уже разложить нельзя. Используемый здесь метод называется математической индукцией и в каком-то смысле восходит к тому факту о разложении на простые множители, который аль-Фариси предложил семьсот лет назад.

Нужное рассуждение будет доказательством от противного, которое сейчас для большинства математиков стало почти рефлекторной привычкой. Что бы вы ни хотели доказать, вы предполагаете обратное. Звучит странно и неправильно, зато это чрезвычайно полезно. Например, вы делаете предположение, что ошибаетесь насчет мироустройства, и начинаете обдумывать его, всячески переворачивая и строя цепочки следствий, пока (надеюсь!) не придете к заключению, что оно не может быть правильным. Это все равно что держать твердый леденец во рту, который постепенно растворяется и растворяется, пока не дойдет до кислого противоречия в центре.

Итак, допустим, что мы заблуждаемся в справедливости теоремы флагов. Тогда должен быть контрпример: какое-то плохое количество флагов, для которого теорема говорит, что мы проигрываем, хотя на самом деле выигрываем, или что мы выигрываем, хотя на самом деле проигрываем. Возможно, таких плохих чисел будет несколько. Однако вне зависимости от их количества среди них есть наименьшее.

В этот момент на сцену выходит алгебра. Иногда люди впадают в панику при появлении x или y. Полезно думать о таких символах как о местоимении. Бывает, что вы хотите обратиться к человеку, но не знаете его имени. Может быть, вы даже не знаете, кто именно этот человек. Скажем, говоря о следующем президенте Соединенных Штатов, вы используете местоимения он или она

не потому, что у этого человека нет имени, а потому, что вы пока его не знаете. Поэтому давайте назовем самое маленькое плохое число N. Напоминаем, что слово «плохое» означает следующее: либо N кратно 4, но при этом позиция выигрышная, либо N не кратно 4, но при этом позиция проигрышная.

Допустим, N кратно 4, тогда, что бы я ни делал (брал 1, 2 или 3 флага), результат не будет кратным 4. Более того, он будет меньше 

N, а потому не может быть плохим. Это важный момент в доказательстве, так что остановитесь и полюбуйтесь. N не просто плохое число, это наименьшее плохое число. Все числа меньше N не являются плохими, а потому ведут себя в соответствии с теоремой флагов. А она утверждает, что если число флагов не кратно 4, то позиция выигрышная. Чувствуете привкус противоречия? Предполагалось, что позиция с N

флагами выигрышная, однако оказалось, что любой ваш ход оставляет выигрышную позицию противнику. Этого не может быть. Противоречие.

Рассмотрим второй случай. N не кратно 4, но при этом позиция проигрышная. Однако, независимо от N, я могу взять 1, 2 или 3 флага и оставить второму игроку число флагов, кратное 4. Это новое число меньше N, а потому не может быть плохим и подчиняется теореме флагов, а значит, позиция должна быть проигрышной. Но если я могу оставить оппоненту проигрышную позицию, то моя исходная позиция с N флагами – выигрышная. Однако, согласно нашему предположению, она проигрышная. Снова противоречие. Поэтому мы вынуждены признать, что наше исходное допущение о существовании неких плохих чисел, для которых теорема флагов неверна, ошибочно. Следовательно, плохих чисел нет и теорема верна для всех чисел. Итак, теорема флагов доказана.

Вы можете отреагировать на это доказательство двумя способами. Первый – восхититься системным парадом мыслей, который аккуратно провел нас по извилистому пути к неизбежному заключению. Второй (который, честно говоря, настолько же обоснован) – сказать: «Да зачем мы потратили на это две страницы? Я и так был в этом убежден! Я понимал, что вы подразумеваете под “и так далее…”, и не думал, что нужны еще какие-то объяснения. Неужели вы, математики, реально проводите целый день, соединяя продуманные аргументы, чтобы доказать то, что нормальный человек посчитал бы уже установленным вне всяких сомнений?»