Форма реальности. Скрытая геометрия стратегии, информации, общества, биологии и всего остального

Это просто вопрос о случайном блуждании, которое начинается в тот момент, когда у игроков поровну монет, и заканчивается, когда у одного из них денег не остается. При бросании трех костей вероятность выпадения 11 очков примерно вдвое выше, чем 14 очков, – просто потому, что существует всего 15 исходов, когда сумма чисел на трех костях равна 14, и целых 27 исходов, когда сумма чисел на трех костях равна 11. Поэтому разумно предположить, что Джефф находится в невыгодном положении. Но насколько невыгодном? Этот вопрос Паскаль задал Ферма. Оказалось[279] (как сразу же ответил Паскалю Ферма, а Паскаль раздраженно дал понять, что уже сообразил), что шансы Джеффа на разорение больше в тысячу с лишним раз! Небольшой сдвиг в случайном блуждании превращается в задаче о разорении игрока в колоссальное неравенство. Джеффу может повезти, и он пару раз выбросит 14 до того, как Акбар выбросит 11, однако его преимущество вряд ли будет длительным, не говоря уже о разорении соперника.

Самый простой способ посмотреть, как это работает на практике, – заменить задачу более простой (детским примером, как ее любят называть математики). Предположим, Акбар и Джефф играют в игру, где шансы Акбара на победу в одной партии равны 60 %, и побеждает игрок, который первым выиграет две партии. Вероятность того, что это сделает Акбар (и тем самым выиграет в целом), составляет 0,6 × 0,6 = 0,36, или 36 %. А вероятность, что Джефф выиграет первые две партии подряд (и тем самым игру в целом), равна всего 0,4 × 0,4 = 0,16, или 16 %. В оставшихся 48 % случаев игроки выиграют по одной партии и игра продолжится. Акбар выиграет следующую партию в 60 % от этих 48 % случаев, то есть в 28,8 % игр (0,6 × 0,48 = 0,288). В оставшихся 40 % от этих 48 % случаев, то есть в 19,2 % игр (0,4 × 0,48 = 0,192), победит Джефф. Следовательно, общие шансы Акбара на победу (со счетом 2:0 или 2:1) составляют 36 % + 28,8 % = 64,8 %. Это несколько выше, чем его шансы выиграть каждую отдельную партию. Если игра ведется до трех побед в отдельных партиях, то вы можете убедиться, что шансы Акбара на общую победу возрастают примерно до 68,3 %. Чем длительнее игра, тем выше шансы, что победит более умелый игрок[280].

Принцип разорения игрока лежит в основе спортивных турниров. Почему мы не определяем чемпиона мира по бейсболу в одной-единственной игре или победителя какого-нибудь теннисного турнира в одном гейме? Потому что это слишком ненадежно: в одном конкретном гейме более сильный теннисист вполне может проиграть, а цель турнира – определить действительно лучшего.

Вместо этого теннисный сет продолжатся до тех пор, пока один из игроков не выиграет шесть геймов с опережением как минимум на два гейма. Это трудно описать словами, поэтому давайте посмотрим на рисунок.

Вы можете представлять теннис как случайное блуждание по этой сетке; каждый раз после сыгранного гейма вы перемещаетесь вправо или вверх и останавливаетесь, когда ударяетесь об одну из границ, то есть «разоряете» одного из игроков (конец сета). Если игрок А чуть-чуть лучше, чем игрок В (то есть вероятность шага вверх больше, чем вправо), то шанс закончить матч на верхней границе выше, чем на нижней[281]. Поскольку длинный диагональный коридор на диаграмме бесконечен, для продолжительности сета не установлено никаких ограничений. Если игроки не будут одинаково сильны, то крайне маловероятно, чтобы блуждание зайдет очень далеко по коридору, не ударившись о его стенки. Тем не менее такое бывало. Например, матч Джона Изнера и Николя Маю 23 июня 2010 года на Уимблдоне[282]. Два игрока то выходили вперед, то сравнивали счет – гейм за геймом. Шли часы. Солнце стало садиться. Табло на корте выключилось при счете 47:47, поскольку это был максимум, на который оно запрограммировано. Примерно в 21:00 при счете 59:59 темнота помешала играть дальше. На следующий день Изнер и Маю ее возобновили, продолжая брать геймы на своей подаче. Наконец, очередной удар Изнера[283]

принес ему выигрыш 138-го гейма и общую победу 70:68 в пятом сете (и в матче). Изнер сказал: «Ничего подобного больше не повторится. Никогда»[284].

Но могло бы! Такие правила могут показаться странными, но для меня это часть очарования тенниса. Ни часов, ни сирены, ни ограничения на количество геймов. Единственный итог – кто-то должен выиграть[285].

Большинство спортивных турниров проходят иначе[286]

. Когда в финале Мировой серии играют две бейсбольные команды, победителем станет та, которая первой одержит четыре победы. Поэтому серия не может длиться дольше семи игр: при счете 3:3 следующая будет решающей. Нельзя, чтобы матчи превратились в ультрамарафон, как у Маю и Изнера[287]. Геометрия границ Мировой серии отличается.