Форма реальности. Скрытая геометрия стратегии, информации, общества, биологии и всего остального

Один из способов это принять – согласиться с тем, что Ферма был своего рода провидцем, умеющим делать правильные математические утверждения без их доказательства – примерно так, как талантливый шашист может интуитивно ощущать правильность хода, не просчитывая всей дальнейшей последовательности ведущих к победе ходов. Но лучше все же предположить, что Ферма был обычным человеком, причем не всегда внимательным! Несомненно, Ферма быстро понял, что у него нет доказательства так называемой Великой теоремы, поскольку позднее писал о ее частных случаях и больше никогда не заявлял, что знает доказательство в общем случае. Французский специалист по теории чисел Андре Вейль[262] писал о преждевременном заявлении Ферма: «Едва ли могут оставаться[263] какие-то сомнения, что это произошло из-за некоторого недопонимания с его стороны, хотя, по иронии судьбы, известность Ферма среди некомпетентных людей опирается именно на это».

В конце письма Френиклю Ферма выражает убеждение, что все числа вида 2²ⁿ + 1 являются простыми, и, как обычно не предлагая доказательства, уточняет: «Я в этом почти убежден», проверив это утверждение, когда n равнялось 0, 1, 2, 3, 4 и 5. Но Ферма ошибался. Его предположение не выполняется для всех чисел, даже для 5! Он не заметил, что число 4 294 967 297, которое он счел простым, на самом деле составное и равно 641 × 6 700 417. Френикль тоже не заметил ошибки Ферма (очень жаль, поскольку по тону писем понятно

[264], что он действительно стремился опровергнуть своего более именитого корреспондента), и Ферма придерживался этого мнения до конца жизни, по-видимому не утруждая себя проверкой первоначально проделанных арифметических исследований. Иногда вещи кажутся правильными; но даже если ты математик масштаба Ферма – не все, что кажется правильным, таковым является[265].

КИТАЙСКАЯ ГИПОТЕЗА

Теорема о браслетах позволяет проверить, является ли простым некое число, подобно тому как вышибала проверяет гостей у дверей фешенебельного клуба. Если у входа в шикарном костюме появляется число 1 020 304 050 607 и пытается пройти, то мне понадобится некоторое время, чтобы удостовериться в его праве (я буду пробовать делить его на 2, 3, 5, 7 и так далее). Однако гораздо легче возвести число 2 в степень 1 020 304 050 607, вычесть 2 и проверить, разделится ли результат на 1 020 304 050 607[266]. Если нет, то это означает, что число 1 020 304 050 607 – точно не простое, и я могу выпроводить его своей мускулистой рукой.

Однако здесь есть странность: мы, несомненно, доказали, что число 1 020 304 050 607 разбивается на меньшие множители, но это доказательство не дает никаких подсказок, какие именно это множители! (Это хорошо; вспомните, что вся система криптографии с открытым ключом основана на сложности поиска таких множителей.) К подобным «неконструктивным доказательствам» требуется привыкнуть, но в математике они встречаются повсеместно. Такое доказательство в чем-то сродни автомобилю, внутри которого каждый раз сыро во время дождя[267]

. По наличию воды и запаху вы понимаете, что где-то протекает. Но доказательством, как ни досадно, будет сам факт существования протечки, а не то, где именно она находится.

Нам нужно вникнуть еще в одну важную особенность этого доказательства. Если ваши коврики влажные во время дождя, то протечка есть; но это не значит, что если они сухие, то протечки нет! Протечка может быть в другом месте, или ваши коврики могут очень быстро сохнуть. Можно сделать два различных утверждения.

Если ваши коврики влажные, протечка есть.

Если ваши коврики сухие, протечки нет.

В терминах логики второе утверждение называется противоположным первому. Существуют и другие варианты.

Обратное утверждение. Если в автомобиле есть протечка, то коврики на полу будут влажными.

Контрапозитивное утверждение. Если в автомобиле нет протечки, то коврики будут сухими[268].

Исходное утверждение эквивалентно своему контрапозитиву; это просто два разных набора слов, выражающих одну и ту же идею, словно ¹/₂ и ³/₆ или «величайший шорт-стоп в моей жизни» и «Кел Рипкен – младший»[269]. Вы не обязаны соглашаться ни с тем, ни с другим, но если соглашаетесь с одним, то вынуждены согласиться и с другим. Однако утверждение и обратное утверждение – две совершенно разные вещи. Может оказаться, что оба истинны, оба ложны или одно истинное, а другое ложное.