Форма реальности. Скрытая геометрия стратегии, информации, общества, биологии и всего остального

Вы являетесь собственным нольюродным братом, поскольку ваш общий родственник – это вы и есть, ноль шагов вверх! (То же самое говорит и формула: расстояние от вас до себя равно 2 × 0 = 0.) Что касается ваших родителей, то у них нет общего предка (если только они не из истинно аристократического клана), зато есть общий родственник – вы! – ниже по дереву, так сказать, на – 1 уровень вверх. Так что ваши родители друг другу – «минус-одноюродные» брат и сестра. Ваша минус-двоюродная сестра – это человек, с кем у вас общий внук, например теща вашего сына. Такие сложные отношения, называемые «самдхи» на хинди, «консуэгро» на испанском, «атони» на языке кикамба (на котором говорит народ камба в Кении), «мехутаним» на иврите и «махатунем» на идише[318], не имеют названия в английском языке, который бедноват в сфере именования родственных отношений.

Если представить людей своего поколения из моей семьи в виде точек на некоторой плоскости, то круг радиуса 2 будет включать меня и всех моих родных братьев и сестер[319]; круг радиуса 4 – меня, всех моих братьев и сестер и всех двоюродных братьев и сестер; круг радиуса 6 – всех вышеперечисленных плюс моих троюродных братьев и сестер. И здесь мы видим очаровательно странную особенность «кузеновой» геометрии. Как выглядит круг радиуса 4 вокруг моей двоюродной сестры Дафны? В него входит Дафна, ее родные и двоюродные братья и сестры – другими словами, все внуки моих общих с Дафной бабушки и дедушки. Но ведь это в точности тот же круг радиуса 4, что и у меня! Так кто же находится в его центре – я или Дафна? Никуда не денешься – мы оба. В этой геометрии каждая точка круга является его центром.

Треугольники в «кузеновой» плоскости тоже отличаются от тех, к которым мы привыкли. Мы с сестрой находимся на расстоянии 2 друг от друга, и каждый из нас находится на расстоянии 4 от нашей кузины Дафны, – следовательно, мы образуем равнобедренный треугольник. Представьте себе: любой треугольник в этой плоскости – равнобедренный. Предлагаю вам самостоятельно убедиться, что это так. Странные геометрии наподобие этой называются неархимедовыми

. Они могут показаться уродливыми научными курьезами, тем не менее встречаются в математике регулярно. Например, существует «2-адическая» геометрия целых чисел, в которой расстояние между двумя числами – величина, обратная наибольшей степени двойки, на которую делится их разность. Серьезно, оказывается, это хорошая идея.

Практически не бывает настолько абстрактных контекстов, чтобы там нельзя было изобрести понятие расстояния, а за ним и сопутствующую геометрию. Дмитрий Тимочко, теоретик музыки из Принстона, пишет целые книги о геометрии аккордов[320] и о том, как композиторы инстинктивно подбирают кратчайшие пути от одного музыкального положения к другому. Даже язык, на котором мы говорим, обладает определенной геометрией, и ее построение ведет нас к карте всех слов.

КАРТА ВСЕХ СЛОВ

Представьте, что кто-то пытается вам описать, как выглядит штат Висконсин, сообщив список городов и указав расстояние между любыми двумя из них. Да, в принципе это скажет вам, какую форму имеет Висконсин и как в нем располагаются города. Однако на практике ни один человек (даже такой любитель чисел, как я) не сможет ничего сделать с длинным списком названий и чисел. Наши глаза и мозг воспринимают информацию в форме карт.

Кстати, не совсем очевидно, что эти расстояния опишут вам форму карты! Предположим, в Висконсине всего три города. Знание расстояний между любыми двумя из них означает, что у нас есть длины трех сторон треугольника, а согласно упоминавшемуся в главе 1 утверждению Евклида, если вы знаете три стороны треугольника, то знаете и его форму. Однако куда больше усилий нужно, чтобы доказать, что можно восстановить форму, образованную произвольным множеством точек, если вы знаете расстояния между любыми двумя из них[321]. Мы с вами на основе этих данных можем составить разные карты, но мою карту можно будет перевести в вашу с помощью движения – переноса и поворота, без изменения формы[322].