Искусство большего. Как математика создала цивилизацию

Возможно, Уайли вздохнул с облегчением, поняв, что идею Эллиса не получится внедрить с использованием технологий, доступных в то время. Путь к этому методу открылся лишь в 1973 году, когда в GCHQ пришел кембриджский математик Клиффорд Кокс. Кокс проводил постдипломное исследование больших простых чисел. Когда ему объяснили, в чем состоит идея Эллиса, он сразу подумал, что с помощью простых чисел можно воссоздать “односторонний” эффект добавления помех на телефонную линию.

Он рассчитал все за один вечер. Находясь дома, он ничего не записывал, но схема запечатлелась у него в голове. В (весьма) упрощенном варианте она такова: Кокс производит математическую операцию, в ходе которой два больших простых числа создают “открытый ключ”. Он может опубликовать его, чтобы тот, кто хочет передать ему секретное сообщение, мог математически смешать свой секрет с открытым ключом. Получившуюся последовательность данных следует отправить Коксу. Поскольку математика создания открытого ключа с помощью двух простых чисел известна только Коксу, только он и может расшифровать сообщение и открыть секрет.

Эллис и Кокс описали свою идею “шифрования с открытым ключом”, но только для сотрудников британских и американских спецслужб. Через несколько лет гражданские математики тоже совершили это открытие, которое в итоге легло в основу коммерческого продукта: системы шифрования Ривеста – Шамира – Адлемана (RSA), созданной в 1977 году. Двадцать лет спустя GCHQ объявил, что на самом деле освоил шифрование с открытым ключом несколькими десятилетиями раньше.

После Эллиса и Кокса творческие математики разработали целый ряд новых способов хранить секреты. Сегодня внедрять надежные криптографические методы так просто, что подобные схемы повсеместно защищают наши персональные данные, данные наших кредитных карт, наши разговоры и все, что мы предпочитаем не разглашать. В онлайн-шопинге, как правило, используется шифрование с открытым ключом, но компания Apple

для блокировки своих мобильных устройств применяет алгоритм шифрования, основанный на математике “эллиптической кривой”. При шифровании с помощью эллиптической кривой данные скрывают не простые числа, а точки на графике. Этот алгоритм определяет последовательность простых операций, которые позволяют вам перемещаться по кривой, а перехватчик знает только начальную и конечную точки, но никак не может определить, какие точки между ними скрывают данные. Другой подход у WhatsApp: для шифрования сообщений применяется протокол Signal

, который представляет собой комбинацию нескольких техник шифрования. Единственная проблема в том, что сегодня все перечисленные алгоритмы под угрозой, поскольку появилась революционная, квантовая версия криптоанализа.

Информация и квантовое будущее

Мы упоминали о “квантовом” мире молекул, атомов и субатомных частиц, когда изучали странные миры, которые нам открывают комплексные числа. Законы, по которым они работают, сильно отличаются от законов обычной жизни. Когда теория информации применяется на стандартном, или “классическом”, компьютере, двоичные символы – это вполне определенные нули и единицы. Однако, если вы решите зашифровать свои биты на квантовом компьютере, может возникнуть неопределенность. И это, как выясняется, меняет все.

На классических компьютерах нули и единицы закодированы как определенные состояния электрической схемы. Это может быть наличие/отсутствие напряжения, включенное/выключенное состояние транзистора или заряженное/незаряженное состояние конденсатора. На квантовых компьютерах все не так конкретно. Здесь мы кодируем нули и единицы в сущности, которые можем описать лишь математически. Как мы выяснили в главе о комплексных числах, в математике квантового мира применяются комплексные числа и волновые уравнения, а его физические проявления выходят за рамки обыденного. Это значит, что с информацией могут происходить странные вещи.

В 1994 году математик, работающий в дочерней компании – вы угадали – Лабораторий Белла, показал, насколько странными они бывают. Питер Шор изучал математику разложения на множители: поиска двух чисел, которые при перемножении дают большее известное число. Как мы уже видели, в традиционной математике нет быстрого способа раскладывать числа на множители: приходится пользоваться методом проб и ошибок. Но в квантовой математике такая хитрость есть.