Искусство большего. Как математика создала цивилизацию

Скорее всего, Фалес сформулировал эти положения, странствуя по Египту. За тысячи лет до этого геометры играли важнейшую роль при проектировании таких великих египетских сооружений, как пирамиды. Но Фалес дополнил египетскую геометрию практической демонстрацией работы различных принципов. Так, он показал, что в треугольнике, который сегодня называется равнобедренным, углы при основании равны. Для этого он перевернул точную копию такого треугольника, и копия осталась идентичной. Он также продемонстрировал, что, зная длину основания и величины углов по обе стороны от него, можно получить все необходимые сведения о треугольнике. Это полезная информация. Если вы хотите узнать, насколько далеко корабль ушел в море, постройте треугольник с вершиной возле корабля. Возьмите известную длину побережья за основание треугольника, встаньте на одном конце этого основания и измерьте угол между основанием и кораблем. Затем перейдите на другой конец основания и снова измерьте, под каким углом находится корабль. Теперь постройте – если хотите, нарисуйте на песке – треугольник поменьше, в котором углы при основании равны только что измеренным. Определите отношение его высоты к основанию и умножьте полученное число на расстояние, отмеренное на побережье при построении первого треугольника. У вас получится расстояние от берега до корабля.

С помощью подобных треугольников можно определять расстояние до корабля в море

Применив другой вариант этой техники, Фалес показал, что такие “подобные треугольники” содержат полезные пропорции. По легенде, он поразил египетского фараона Амасиса II, вычислив высоту пирамиды, зная лишь высоту шеста, помещенного на кончик тени этой пирамиды.

Фалес показал, как вычислить высоту пирамиды, измерив длины теней

Длина тени от пирамиды P и длина тени от шеста S относятся друг к другу так же, как высота пирамиды H и длина шеста L

. Можно записать это следующим образом:

Перестроим эту формулу и получим:

Следовательно, высота пирамиды равна произведению длины шеста и длины тени от пирамиды, деленному на длину тени от шеста. Мы увидим, что такие расчеты в итоге стали столпом средневековой навигации, называемым правилом трех: если при работе с подобными треугольниками вам известны три размера, можно вычислить четвертый, неизвестный, и мир окажется у ваших ног.

Свое излюбленное открытие в отношении треугольников Фалес совершил, когда построил один из них внутри окружности. Он показал, что если взять диаметр окружности (ее ширину в самой широкой части) в качестве основания, а вершину треугольника поместить на окружности (периметре круга), то полученный треугольник всегда будет прямоугольным. По легенде, выяснив это, Фалес пришел в такой восторг, что в знак благодарности за откровение принес богам в жертву вола.

Прямоугольный треугольник, вписанный в окружность

Предложенный Фалесом метод вписывания треугольника в полуокружность для построения прямого угла нашел применение в строительной сфере. Перед постройкой здания выбирается прямая – например, идеальная линия, идущая с севера на юг, которую можно провести, отметив, куда в полдень падает тень от высокой колонны, такой как египетский обелиск. Затем к колышку привязывается веревка, а колышек вбивается в землю в той точке прямой, где должен быть угол (A). С помощью другого конца веревки на земле очерчивается окружность. Далее строится еще одна окружность такого же радиуса с центром в точке B, где получившаяся окружность пересекает линию север – юг. Окружности пересекаются в точке C, и через точки B и C проводится прямая, которая продолжается до точки D на такое же расстояние, как BC, то есть CD = BC. Точки A, B и D соединяются, и получается прямоугольный треугольник, в котором сторона AD идет точно с востока на запад. Разве не прекрасный способ начать строительство храма Солнца?

Геометрический метод построения оси восток – запад на основе имеющейся оси север – юг

Хотя с методом Фалеса разберутся и восьмилетние дети, он был не первым из тех, что строители использовали для построения прямых углов. До нас дошли свидетельства того, что еще около 2000 года до нашей эры ученые, жившие на территории современного Ирака, применяли теорему, выведение которой мы ошибочно приписываем Пифагору. Краеугольным камнем строительства стало представление о наличии строгой математической связи между длинами сторон прямоугольного треугольника. Чтобы построить здание с идеально прямыми углами в основании, рабочие пользовались веревкой и колышками. Они делили веревку на 12 отрезков, а затем привязывали один ее конец к вбитому в землю колышку. Далее они отмеряли три отрезка и вбивали второй колышек в той точке, где должен был получиться прямой угол. После этого они поворачивали примерно на 90 градусов и отмеряли четыре отрезка веревки. В этом месте устанавливали третий колышек, после чего веревку протягивали обратно к первому колышку. Если ее длины не хватало, третий колышек переставляли, пока периметр не замыкался. Так у второго колышка получался идеальный прямой угол, поскольку 3² + 4² = 5².