Искусство большего. Как математика создала цивилизацию

Но что это такое? Синусы, а также косинусы и тангенсы – это просто отношения сторон треугольника (или результаты их сопоставления). Синус угла a – это отношение вертикальной стороны треугольника (BC) к радиусу окружности (или гипотенузе треугольника, AB на рисунке). Иными словами, синус угла – это длина противолежащей стороны, деленная на длину гипотенузы. Косинус угла a – это отношение основания треугольника AC к радиусу AB. Тангенс угла a – это отношение вертикальной стороны (BC) к основанию (AC). Теперь, узнав это, мы можем отправляться в путь.

Поиск пути

“Вся навигация сводится к правильному треугольнику”, – сказал французский мореплаватель Гийом Дени в 1683 году[45]

. Он имел в виду треугольник, который мы называем прямоугольным: по его словам, моряку достаточно изучить свойства этой фигуры. Эту истину установили много столетий назад, еще когда средиземноморские моряки начали использовать розы ветров. Роза ветров – это нанесенные на карту линии, соединяющие порты и другие примечательные места. Если карта верна, то угол наклона такой линии относительно севера позволяет проложить курс по компасу.

Моряки собирали розы ветров в портуланы – портовые книги, – которые широко использовались для навигации по Средиземному морю в XIII веке. Однако суда редко перемещались от порта к порту по прямой. Когда в ходе плавания они сбивались с курса – будь то из-за неблагоприятных ветров, из-за островов на пути или из-за встречи с пиратами, – математика треугольников, или тригонометрия, помогала морякам снова взять верный курс. Именно поэтому они всегда брали с собой либо таблицы синусов и косинусов, либо инструмент для их вычисления, например синусный квадрант.

Первое описание синусного квадранта было сделано в IX веке. Именно тогда аль-Хорезми, старший библиотекарь Дома мудрости в Багдаде (и человек, который познакомил нас с нулем в предыдущей главе), расчертил четверть круга на квадраты и прикрепил бечевку к точке в начале координат. Другой конец бечевки доходил до изогнутого края, поделенного на 90 градусов. Вдоль двух прямых сторон инструмента была нанесена шкала, поделенная на 60 единиц: с помощью одной из сторон вычисляли синус угла, с помощью другой – его косинус.

Синусный квадрант

Сегодня можно распечатать изображение синусного квадранта из интернета. Он поразительно прост в использовании: по сути, достаточно построить нужный угол с помощью бечевки и провести линию от края к шкале синусов или косинусов. Но будь вы моряком, которому нет дела до синусов и косинусов, на помощь вам пришла бы toleta de marteloio – тригонометрическая таблица, составленная специально для использования в мореходстве. По ней можно было определить, как скорректировать курс, если судно сошло с него из-за неблагоприятного ветра или по другой причине. Для этого достаточно было знать, сколько миль судно преодолело с отклонением от курса и насколько далеко от нужного курса оно идет. Toleta показывала, какое расстояние необходимо пройти по новому курсу, прежде чем судно вернется на изначальный курс.

При этом применялась другая диаграмма – роза румбов. Каждая ее четверть поделена на восемь румбов, соответствующих разным направлениям. В первой четверти, например, находятся румбы север-тень-восток, север-северо-восток, северо-восток-тень-север, северо-восток и так далее.

Роза ветров. Каждое из обозначенных на ней направлений – это румб

Давайте проверим, получится ли у нас рассуждать подобно моряку XIII века. Представьте, что вы хотите по морю дойти из Афин в Ираклион на Крите. Вам нужно преодолеть примерно 212 миль на юго-юго-восток, но ветер позволяет вам двигаться лишь в южном направлении. В ходе путешествия по Эгейскому морю вы сможете оценивать пройденное расстояние либо “счисляя координаты”, для чего вам придется определять скорость путем наблюдения за волнами за бортом, либо бросая в воду деревяшки и засекая время, за которое они преодолевают известное расстояние от носа до кормы. Допустим, вы прошли 75 миль и ветер сменился: теперь вы можете взять курс на восток-юго-восток. Но сколько вам нужно будет пройти в этом направлении, чтобы вернуться на изначально запланированный курс?

Как и сказал Дени, все сводится к прямоугольным треугольникам. С toleta de marteloio вам даже не придется заниматься тригонометрией. Если вы знаете, на сколько румбов от запланированного курса отстоял ваш изначальный курс и какое расстояние вы прошли, toleta покажет вам, сколько миль отделяет вас от нужного курса. Затем вы просто выбираете соответствующее количество румбов между изначально запланированным курсом и “обратным” курсом, который вы собираетесь взять, и узнаете, какое расстояние необходимо пройти по нему. Наконец, toleta

показывает, сколько миль останется пройти по изначально запланированному курсу, когда вы на него вернетесь.

Toleta de marteloio

Простая toleta de marteloio, помогающая морякам корректировать курс