Искусство большего. Как математика создала цивилизацию

Первым делом необходимо получить достаточно точное значение отношения длины окружности к диаметру круга. Это отношение обозначается греческой буквой π (пи), и длина окружности круга равняется его диаметру, умноженному на π. Многие древние культуры не стремились к точности. Вавилоняне и первые китайские геометры приравнивали значение π к 3,0, а древние египтяне около 1500 года до нашей эры – к 3,16. Архимед вычислил число π, вписав в круг многоугольник и разделив его на треугольники, основаниями которых служили стороны многоугольника (а другими сторонами – радиусы круга). Если вычислить площадь каждого из этих равнобедренных треугольников, можно узнать площадь многоугольника. Чем больше треугольников вы построите, тем ближе площадь многоугольника станет к площади круга и тем точнее окажется полученное значение числа π. Площадь всех этих треугольников примерно соответствует площади круга, равной πr². Поскольку вам известен радиус круга, вы можете вычислить значение π. К 240 году до нашей эры, изучая свойства колес, Архимед поместил значение π в диапазоне от 3,140 до 3,142 (используя 96-угольник).

Метод Архимеда для вычисления π с помощью треугольников, вписанных в круг

Около 450 года нашей эры китайский геометр Цзу Чунчжи построил 24576-угольник и получил значение π в диапазоне от 3,1415926 до 3,1415927. Сегодня мы знаем, что π равняется 3,14159265358979…, и определили многие следующие триллионы его десятичных знаков.

Если бы на Землю высадились инопланетяне, их поразило бы, насколько мы неравнодушны к числу π. Ни одно другое число не изучалось нами с таким же рвением. О нем снимают художественные и документальные фильмы, ему посвящают песни, оно даже стало объектом искусства. Может, я слишком люблю треугольники, но мне сложно понять, что такого в числе π. Неужели дело в том, что у него нет конца, а цифры в нем располагаются без четкой закономерности? Это довольно любопытно, ведь у круга тоже нет конца, но так ли это отличается от бесконечного хвоста квадратного корня из 2, который дают нам треугольники?

Стоит признать, что число π действительно полезно. Оно всплывает буквально всюду – например, в математике, физике, финансах, архитектуре, искусстве, музыке и инженерии. Это объясняется тем, что без него не обходится ни одно математическое описание повторяющегося явления. Если вас интересует математика волн – где бы они ни распространялись, будь то в звуке, в воде, в электромагнитной среде, в биржевых данных или в любых других средах, – вы, по сути, имеете дело с явлением, свойства которого цикличны, а следовательно, вам нужно число π. Однако, поскольку мы рассматриваем влияние математики на нашу цивилизацию, не будем забывать о той сфере применения π, которую часто обходят вниманием: об архитектуре.

Строительство по цифрам

Если вы бывали в Софийском соборе в Стамбуле в современной Турции, вы, вероятно, были так очарованы его красотой, что даже не думали о математике, лежащей в основе этого сооружения. И зря, ведь собор спроектировали два математика: Исидор Милетский и Анфимий Тралльский[51].

Император Юстиниан обратился к Исидору и Анфимию, поскольку хотел возвести новый каменный храм на месте храма, разрушенного бунтовщиками. Десятки тысяч людей погибли в ходе восстания, поднявшегося в том числе из-за налогового гнета (из-за чего же еще бунтовать?). Юстиниану нужно было величественное сооружение, чтобы продемонстрировать, что власть в городе принадлежит ему.

Спроектированный собор идеально подходил для этой задачи. Геометрически он представляет собой впечатляющее и сложное сочетание 82-метровой прямоугольной базилики с центральным кубическим объемом, который венчает купол высотой 56 метров. Таких грандиозных проектов прежде не воплощали. Софийский собор был возведен к 537 году нашей эры и оказался на тот момент крупнейшим зданием на планете. Он сразу стал гордостью Константинополя, и вскоре его признали одним из архитектурных чудес света. Как архитекторы добились таких впечатляющих результатов всего за шесть лет? Они использовали примерные значения π и квадратного корня из 2 и применяли геометрические хитрости Герона Александрийского.

Собор Святой Софии. Изображение из открытого источника, получено в отделе плакатов и фотографий Библиотеки Конгресса США, Вашингтон, 20540