Искусство большего. Как математика создала цивилизацию

Герон родился около 10 года нашей эры и зарекомендовал себя как прекрасный математик и изобретатель. Среди прочего он нашел способы качать воду и вычислять площадь треугольника, а также спроектировал паровой двигатель. Его справочник “Стереометрика” был, несомненно, хорошо знаком Исидору и Анфимию, которые преподавали в университетах Александрии и Константинополя. “Стереометрика” – это практическое руководство, в котором автор учит читателя работать с объемами и площадями различных архитектурных сооружений, чтобы составлять бюджет и планировать приобретение и доставку необходимых строительных материалов. Кроме того, в книге объясняется, как вести проект с начала и до самого конца.

В самых эффектных архитектурных сооружениях задействуются кривые, круги и сферическая геометрия. А это значит, что применяется и число π. Однако π – одно из иррациональных чисел, которых, как мы уже поняли, для древних греков не существовало. Они не могли его записать и уж точно не могли передать его каменщику. Неудивительно, что Герон предложил примерное значение π, лишь отметив, что “такие числа плохо поддаются измерению”. Он принял его за 22/7, а затем привел примеры, в которых радиус или диаметр делились без остатка на 7, чтобы проще было сокращать знаменатель (нижнюю часть) дроби при расчете различных параметров свода или купола. Герон мастерски использовал геометрию, чтобы облегчить архитекторам жизнь. “Парусный” купол, как у Софийского собора, состоит из двух элементов. Сверху находится полусфера, поддерживаемая чуть более широким сводом, составленным из изогнутых треугольных секций. Герон поясняет, как произвести расчеты для таких сферических треугольников: нужно отнять четыре сферических секции от полусферы, вписав в нее половину куба. Благодаря этому несложно вычислить объем (а следовательно, и массу) и площадь поверхности купола (а следовательно, и требуемое количество штукатурки). Более того, в конце этого раздела своего руководства Герон предложил “стандартные решения” для строительства, в результате чего работа с цифрами, которую прорабам приходилось совершать в уме, свелась к минимуму.

Купол Софийского собора образован половиной куба, вырезанной из полусферы

Изначально считалось, что купол Софийского собора покоится на квадратном основании, длина стороны которого составляет 100 византийских футов – прекрасное круглое число. Мы точно не знаем, чему равнялся византийский фут, но современные измерения показывают, что длина стороны равна 31 метру, а это дает допустимый диапазон для византийского фута, если размер квадрата действительно был 100 на 100 футов. Однако если длина стороны квадрата составляет приятные 100 футов, то длина его диагонали – расстояния от одного угла квадрата до противоположного ему угла – покажет, что половина этого квадрата представляет собой увеличенную вариацию треугольника, который так досаждал пифагорейцам. Иными словами, придется смириться с тем, что диагональ такого квадрата кратна квадратному корню из 2. В результате диаметр купола, стоящего на этом основании, как в Софийском соборе, может оказаться равен 141,421356237… фута. У византийцев не было ни одного маркшейдерского инструмента, который позволил бы оперировать таким числом.

Давайте поставим себя на место Герона и приступим к расчетам параметров круга. Если мы хотим облегчить себе жизнь, будет гораздо логичнее приравнять диагональ, а следовательно, и диаметр купола к 140 футам. Число 140 делится на 7 и потому совместимо с примерным значением π, которое составляет 22/7.

Коль скоро диагональ должна была равняться 140 футам, Исидор и Анфимий должны были сообщить прорабу требуемую длину сторон квадрата, после чего тот смог бы приступить к строительству. Вероятно, для этого они применили пифагорейскую хитрость, называемую последовательностью длин сторон и диагоналей и дающую нам приблизительное значение √2.

Сначала возьмем квадрат со стороной 1 и условимся, что его диагональ равна 1. Разумеется, это очень грубая оценка. Чтобы уточнить ее, берем квадрат побольше и приблизительно оцениваем длину его диагонали. Сторона каждого следующего квадрата в последовательности равна сумме стороны и диагонали предыдущего квадрата (в этом случае – 2). Чтобы получить следующую диагональ, нужно прибавить предыдущую диагональ к предыдущей стороне, умноженной на 2 (получим 3).

Представьте отношение этой следующей диагонали к следующей стороне в виде дроби, и получится 3/2, или 1,5, что уже немного ближе к √2. По мере увеличения квадратов вы получите 7/5, 17/12, 41/29, 99/70 и так далее, и эти числа будут постепенно становиться все ближе к точному значению √2. Например, 99/70 – это 1,41428…, и это весьма неплохо (как мы помним, √2 равен 1,41421…).