Искусство большего. Как математика создала цивилизацию

Далее Исидору и Анфимию предстояло выбрать из этих дробей ту, с которой легче всего было бы работать и им самим, и их прорабу. Так у них появилась S, длина стороны квадрата с известной им диагональю. Этот треугольник подобен тому, стороны которого равны 1, 1 и 2, следовательно, 1 относится к 2 так же, как S относится к 140. Заменим 2 на 99/70 и получим равенство:

Решив его по правилу трех, мы получим значение S

чуть меньше 99. В наших обстоятельствах длину стороны вполне можно округлить до 99 футов, и строителям Софийского собора не составит труда разметить соответствующий квадрат. Поскольку диагональ квадрата, на котором покоится купол, кратна π, возвести купол будет относительно просто.

Возможно, Исидору и Анфимию даже не пришлось производить все описанные расчеты. Вероятно, Герон просто составил таблицы, в которых можно было по диаметру купола узнать размеры остальных его элементов. Ни одна из них не сохранилась, но до нас дошли его книги, в которых он приводит подобные таблицы для других целей. Кроме того, он создавал чертежи в помощь архитекторам, и эти чертежи подозрительно напоминают купол и некоторые своды Софийского собора.

Скорее всего, Исидор и Анфимий пользовались его приемами. До нас дошло несколько текстов, в которых упоминаются (к несчастью, утраченные) комментарии Исидора к расчетам Герона о проектировании и строительстве сводов. Не стоит также забывать, что Герон гордо стоял на плечах других математиков, в частности Архимеда, ведь в мире существует и множество других примеров того, как на практике применялись древние геометрические пропорции. При постройке Даремского собора на северо-востоке Англии явно учитывалось примерное отношение стороны квадрата к его диагонали. Инженеры, проектировавшие Миланский собор в конце XIV века, обратились за помощью к математику Габриэлю Сторнолоко, чтобы обсудить, какой должна быть постройка – ad quadratic или

ad triangulum, – то есть что предпочтительнее положить в ее основу, отношение диагонали к квадрату или отношение высоты к стороне равностороннего треугольника[52]. Сторнолоко выбрал треугольники – в сочетании с квадратами, прямоугольниками и шестиугольниками. Ученые не сходятся во мнении относительно того, как именно он вычислил отношение высоты равностороннего треугольника к его стороне, которое равно √3/2:1. Как и при постройке Софийского собора, ни один каменщик не смог бы произвести необходимые расчеты, но складывается впечатление, что Сторнолоко дал ремесленникам всего три конкретных размера: ширину нефа и четырех приделов; высоту треугольника, указывающего на высшую точку свода нефа; а также расстояние между осями опор нефа – и отношение 26/30. В других средневековых европейских постройках, например в соборах в Реймсе, Праге и Нюрнберге, использовалось отношение стороны к диагонали правильного пятиугольника[53]

, а значит, применялись известные приблизительные значения числа (√5 + 1)/2. Вот так просто все и делалось, зачем изобретать велосипед? В конце концов, когда основные расчеты произведены, остальное труда не представляет.

Луч света

Софийский собор – признанное чудо древнего мира, одна из множества архитектурных жемчужин, построенных в незапамятные времена. Почему же картины, которые принято считать мировыми шедеврами, начали появляться лишь тысячу лет спустя, в XV и XVI веках? И почему эта революция в живописи совпала с покорением океанов и составлением европейцами первых карт мира? Случайно ли так произошло? Нет. И живописи, и картографии пошло на пользу возрождение математических знаний, утраченных за столетия религиозных войн.

В начале VII века исламские народы начали покорение Западной Азии и Северной Африки. К концу столетия они даже вторглись в Европу и обосновались в Испании и на Балканах. Но в XI веке терпение христиан лопнуло. Теперь им даже не позволялось посещать Иерусалим, святой город. В ответ на это в 1095 году папа Урбан II объявил Первый крестовый поход. За ним последовало еще семь походов, растянувшихся на двести лет, впрочем, назвать их успешными сложно. Контроль над Иерусалимом и окрестными землями оставался в руках у мусульман. В такой отчаянной ситуации вселяющие надежду истории о пресвитере Иоанне производили на европейцев особенно сильное впечатление. В итоге они не только подтолкнули развитие навигации на базе тригонометрии, но и позволили искусству вступить в золотой век.