Искусство большего. Как математика создала цивилизацию

Тарталья решил не все задачи. Он покинул Милан с позором. Он все равно получил должность в Брешии, но занимал ее лишь полтора года, после чего разочарованные работодатели перестали ему платить. Феррари, напротив, стал местной знаменитостью и сам занял теплое местечко: он стал старшим налоговым инспектором императора Священной Римской империи в Милане. Хотя практического применения такой алгебре по-прежнему не находилось, алгебраические навыки Феррари – которые он вполне мог больше и не применять – позволили ему разбогатеть и отойти от дел.

Давайте сделаем паузу и подумаем, что мы сами испытали бы, если бы нам предложили решить кубическое уравнение пониженной степени x³ + 6x = 20. По плечу ли оно вам? Кардано в своем “Великом искусстве” предложил такое решение:

Возведите в куб одну треть коэффициента при x; добавьте получившееся число к квадрату половины постоянной уравнения; извлеките из всего этого квадратный корень. Далее повторите описанное и прибавьте к одному из результатов число, уже возведенное в квадрат, а из другого вычтите половину того же… Затем отнимите кубический корень первого от кубического корня второго, и останется значение x.

Довольно сложно, правда? Но в реальности это просто геометрия. Сначала Кардано представляет огромный куб, который делит на шесть блоков и кубов поменьше, – по сути, он занимается достройкой квадрата в 3D. Он знает размеры каждой из фигур и знает, что сумма их объемов дает объем большого куба, который они составляют. Он приводит это к квадратному уравнению и получает ответ[81]:

x = 2. Как видите, это легко проверить. Именно поэтому математические дуэли так нравились зрителям: было сразу понятно, преуспели ли противники в своих трудах.

В “Великом искусстве” Кардано хотел представить универсальное решение, которое подходило бы для любого кубического уравнения. Но это было нелегко, поскольку ему приходилось прорабатывать множество вариантов. Например, по отдельности разбирать такие вариации, как x³ + mx = n и x³ + n = mx

. Даже имея лишь базовую математическую подготовку, сегодня мы перестроили бы эти уравнения так, чтобы они повторяли друг друга по форме при отрицательном значении m или n. Однако на том этапе математической истории еще не было устоявшейся формы для записи уравнений в разных формах, а сама идея существования отрицательных чисел по-прежнему вызывала дискомфорт. Потому Кардано и разбирал два этих уравнения в разных главах (и потому Тарталья и разработал разные решения для x³ = px + q и x³ +

q = px).

Но в конце концов хитрость в стиле достраивания квадрата и подмены x целым выражением позволила вывести универсальное решение для уравнения, которое сегодня мы записали бы так:

ax³ + bx² + cx

+ d = 0

Благодаря описанной хитрости оно превращается в уравнение, которое можно решить с помощью формулы Кардано для кубического уравнения пониженной степени. В “Великом искусстве” подробно описывается, как Феррари нашел подобный способ решения уравнений четвертой степени – с x⁴.

Что насчет уравнения пятой степени, в котором фигурирует грозный x⁵? Кардано и Феррари предположили, что привычный фокус с подстановкой выражения на место x поможет решить и его. Но в итоге они признали, что не сумели найти подходящий метод. И правильно сделали, когда отказались от дальнейших его поисков. Почти триста лет спустя, в 1824 году, норвежский математик Нильс Абель доказал, что решить такое уравнение методом подстановки невозможно.

Но уравнение пятой степени все же поддается решению. Для этого нужны так называемые эллиптические функции (или эллиптические кривые), которые сегодня применяются в криптографии – науке о хранении тайн. Мы поговорим об этом позже, а пока давайте рассмотрим, где в наши дни находится применение квадратным, кубическим и уравнениям четвертой степени. На первый взгляд, это продолжение труда Тартальи. Но если Заика описывал кривые траектории полета пушечных ядер, то современные новаторы чаще занимаются изгибами физических тел, например автомобиля “Форд Таурус”. И здесь мы видим, как алгебра по-прежнему помогает решать некоторые из самых насущных проблем продвинутого технологического общества.

Изгибы мира

В 1974 году галлон бензина в США стоил около 40 центов. В 1981 году тот же объем бензина стоил уже 1 доллар 31 цент. Американские автопроизводители поняли, что им нужно вмешаться в ситуацию, если они хотят спасти автомобильный транспорт. Но как? Пересмотреть конструкцию двигателей, чтобы сделать их более производительными, оказалось слишком сложно. Гораздо проще было повысить аэродинамику автомобилей.