Искусство большего. Как математика создала цивилизацию

Благодаря прорывным математическим трудам Ньютона нам известно, что траектория тела, движущегося в одну сторону, но находящегося также под воздействием силы, направленной в другую сторону, напоминает одно из конических сечений. В зависимости от скорости тела и величины силы траектория будет либо круговой, как у наших спутников, либо эллиптической, как у планет, которые вращаются вокруг Солнца, либо параболической или гиперболической, как у некоторых комет, время от времени проносящихся мимо Земли. Уравнение движения – скажем, Ньютоново уравнение, описывающее силу притяжения, – также задает траекторию тела в динамике.

Впрочем, алгебру на Западе впервые применили не для изучения планетарных орбит. Неудивительно, что военные еще давным-давно задались вопросом, не может ли алгебра помочь с такими вещами, как расчет угла, под которым солдату следует установить пушку с учетом позиции противника. Ответ – да. Алгебра может справиться с этой задачей.

Искусство войны

Нередко ученые посыпают голову пеплом, узнавая о том, какое применение находят их труды в военной сфере. Пожалуй, самый известный пример – атомщик Роберт Оппенгеймер, который возглавлял Манхэттенский проект по разработке первой в мире атомной бомбы. Через три года после первого атомного взрыва он заявил, что “физики познали грех, и лишиться этого знания они никогда не смогут”[76]. В XVI веке о таком же чувстве стыда заявил математик Никколо Тарталья.

Тарталья – это прозвище, означающее “заика”. Оно приклеилось к Никколо еще в детстве в Брешии, после того как город осадила французская армия. Они с матерью спрятались в часовне, но туда ворвались французы, и один солдат мечом рассек Никколо рот. Бедный мальчик чуть не лишился способности говорить, но оказался человеком невероятно сильной воли. Заика не только выжил (отчасти благодаря тому, что его мать самоотверженно вылизывала ему раны, чтобы в них не попала грязь), но и вырвался из нищеты, в которой жила его семья, сам освоил науки и стал уважаемым математиком.

В рамках своих исследований Тарталья решил “задачу артиллериста”: определил, как угол наклона пушечного ствола влияет на дальность полета снаряда[77]. Из-за этого его замучила совесть. Он отметил, что такое применение алгебры “вредно”, “разрушительно для рода человеческого”, а также “предосудительно, оскорбительно и жестоко, а потому заслуживает тяжелой кары Господней и людской”. И сжег все свои рукописи.

Но затем передумал.

Когда османский султан Сулейман укрепил позиции и стал грозить всему христианству, нежелание Тартальи применять его новую артиллерийскую науку для убийства людей затмила его преданность своим христианским братьям и сестрам. “Учитывая, что волк собирается напасть на наше стадо, – написал он своему покровителю герцогу Урбинскому, – я считаю более недопустимым скрывать эти вещи”. И он представил герцогу алгебру артиллерии.

Что же определяет траекторию артиллерийского снаряда? Допустим, пушка стоит в точке p на оси x и стреляет горизонтально по цели, находящейся в точке q. Снаряд вылетает из ствола со скоростью v. Не принимая в расчет сопротивление воздуха, скажем, что на него воздействует единственное ускорение, гравитация a, а значит, он полетит по одному из конических сечений – по параболе. По прошествии времени t

он достигнет точки q, и это можно описать следующим уравнением:

q = p + vt + 1/2 at²

Иными словами, итоговое положение снаряда по оси x равняется сумме его начального положения, скорости, умноженной на время t (скорость, умноженная на время, – это просто расстояние), и половины ускорения, умноженного на время t в квадрате.

Впрочем, вам, вероятно, не захочется, чтобы пушка стреляла горизонтально. А когда вы поднимаете ее ствол на угол A, чтобы обеспечить определенную дальность стрельбы, вам приходится учитывать горизонтальный и вертикальный компоненты траектории полета снаряда. И так мы возвращаемся в сферу тригонометрии.

Определение дальности полета пушечного снаряда с помощью треугольников

Вертикальная скорость равняется v sin A (где v – начальная скорость). Эта вертикальная скорость падает до нуля, когда снаряд достигает максимальной высоты. Та же сила, которая замедляет его полет, – гравитация – теперь ускоряет его движение к земле, и снаряд начинает падать, а поскольку никаких новых сил на него не воздействует, падение занимает то же время, что и взлет. Горизонтальная скорость равняется v cos A и остается неизменной (как помните, мы не принимаем в расчет сопротивление воздуха). Алгебра позволяет нам вычислить время до столкновения снаряда с землей, а также преодоленное снарядом горизонтальное расстояние. Если нам известно, на какое расстояние мы хотим послать снаряд, мы можем скорректировать угол A, чтобы обеспечить себе идеальную дальность стрельбы.