Избранные научные труды. Том 1

Рассмотрим теперь силы, действующие на электроны со стороны атомов. Предположим пока, что собственные частоты электронов так малы, что для столкновений, при которых расстояние 𝑝 по порядку величины равно λ, время столкновения очень мало по сравнению с периодом колебаний. Как мы увидим далее, для лёгких элементов это соотношение может выполняться. В этом случае мы должны учитывать действие рассматриваемых сил лишь при таких столкновениях, когда 𝑝 велико по сравнению с λ. Это существенно упрощает расчёты, так как мы можем принять, что смещение при столкновении пренебрежимо мало по сравнению с 𝑝. В дальнейшем мы будем рассматривать отдельно движение электронов в направлениях, параллельном и перпендикулярном направлению движения частицы. Полная энергия, переданная электрону при столкновении, будет при этом равна сумме энергий, соответствующих этим двум движениям.

Рис. 1

На рис. 1 линия АВ изображает траекторию частицы, которая при рассматриваемых здесь столкновениях (т. е. при 𝑝, много большем λ) очень близка к прямой линии, 𝐴 — положение частицы в момент времени 𝑡, 𝐶 — среднее положение электрона; 𝐵𝐶 перпендикулярно 𝐴𝐵. В соответствии с введёнными обозначениями 𝐵𝐶=𝑝. Полагая, что частица находилась в точке 𝐵 в момент 𝑡=0, имеем 𝐴𝐵=𝑉𝑡.

Для составляющей силы, действующей на электрон в направлении 𝐶𝐵 имеем

𝐹

₁

=

𝑒𝐸

𝐵𝐶

𝐴𝐶³

=

𝑒𝐸𝑝

(𝑉²𝑡²+𝑝²)^3/2

=

𝑚φ(𝑡).

Уравнение движения электрона в направлении, перпендикулярном направлению движения частицы, имеет вид

𝑑²𝑥

𝑑𝑡²

+

𝑛²𝑥

=

φ(𝑡),

где 𝑛 — частота, возбуждаемая рассматриваемой силой.

Решение этого уравнения, удовлетворяющее следующим условиям:

𝑥=0 и

𝑑𝑥

𝑑𝑡

=0 при 𝑡=-∞,

представляется в виде¹

𝑥=

1

𝑛

_𝑡

∫

⁰

sin 𝑛(𝑡-𝑧)

φ(𝑧)

𝑑𝑧

,

𝑑𝑥

𝑑𝑡

=

_𝑡

∫

⁰

cos 𝑛(𝑡-𝑧)

φ(𝑧)

𝑑𝑧

.

¹ См.: Rayleigh. «Theory of Sound», I, 75. Для последующего анализа см. также J. Н. Jeans. «Kinetic Theory of Gases», 198.

Здесь предполагается, что электрон до соударения с частицей покоился. Если же предположить, что электроны в атоме до столкновения находились в движении, это приведёт к возникновению в формулах для 𝑥 и 𝑑𝑥/𝑑𝑡 дополнительных членов, которые, однако, не войдут в выражение для среднего значения передаваемой энергии. (Заметим, что для справедливости приведённых расчётов необходимо, чтобы размеры орбит электронов были малы по сравнению с 𝑝; относительно выполнимости этого условия см. ниже, стр. 73.)

Для суммы кинетической энергии электрона в момент времени 𝑡 и его потенциальной, энергии, связанной с его смещением относительно этого положения, мы имеем теперь

𝑚

2

⎧

⎪

⎩

𝑑𝑥

𝑑𝑡

⎫²

⎪

⎭

+

𝑚𝑛²

2

𝑥²

=

𝑚

2

⎡

⎢

⎣

_𝑡

∫

⁰

cos 𝑛𝑧⋅φ(𝑧)𝑑𝑧

⎤²

⎥

⎦

+

𝑚

2

⎡

⎢

⎣

_𝑡

∫

⁰

sin 𝑛𝑧⋅φ(𝑧)𝑑𝑧

⎤²

⎥

⎦

.

Для передаваемой электрону при соударении энергии, связанной с его движением, перпендикулярным направлению движения частицы, получаем, замечая, что в этом случае φ(𝑧) — чётная функция аргумента,

𝑄

₁

=

𝑚

2

⎡

⎢

⎣

_∞

∫

^-∞

cos 𝑛𝑧⋅φ(𝑧)𝑑𝑧

⎤²

⎥

⎦

.

Подставляя сюда выражение для φ(𝑧), имеем

𝑄

₁

=

𝑒²

2𝑚

𝐸²𝑝²

⎡

⎢

⎣

_∞

∫

^-∞

cos 𝑛𝑧⋅𝑑𝑧

(𝑉²𝑧²+𝑝²)^3/2

⎤²

⎥

⎦

,

или

𝑄

₁

=

2𝑒²𝐸²

𝑚𝑉²𝑝²

𝑓²

⎧

⎪

⎩

𝑛𝑝

𝑉

⎫

⎪

⎭

,

где функция

𝑓(𝑥)

=

1

2

_∞

∫

^-∞

cos 𝑥𝑧

(𝑧²+1)^3/2

𝑑𝑧

может быть представлена при всех значениях 𝑥 в виде сходящегося ряда

𝑓(𝑥)

=

1-

1

1!2!

3

1⋅2

⎧

⎪

⎩

𝑥

2

⎫4

⎪

⎭

-

1

2!3!

⎧

⎪

⎩

3

1⋅2

+

5

2⋅3

⎫

⎪

⎭

⎧

⎪

⎩

𝑥

2

⎫6

⎪

⎭

…-

-

1

(𝑛-1)!𝑛!

⎧

⎪

⎩

3

1⋅2

+

5

2⋅3

+…

2𝑛-1

(𝑛-1)⋅𝑛

⎫

⎪

⎭

⎧

⎪

⎩

𝑥

2

⎫2𝑛

⎪

⎭

…+

+

⎧

⎪

⎩

2ln γ+2ln

𝑥

2

-1

⎫

⎪

⎭

⎡

⎢

⎣

⎧

⎪

⎩

𝑥

2

⎫2

⎪

⎭

+

1

1!2!

⎧

⎪

⎩

𝑥

2

⎫4

⎪

⎭

+

+

1

1!3!

⎧

⎪

⎩

𝑥

2

⎫6

⎪

⎭

+…+

1

(𝑛-1)!𝑛!

⎧

⎪

⎩

𝑥

2

⎫2𝑛

⎪

⎭

+…

⎤

⎥

⎦

(γ= 0,5772 ... — постоянная Эйлера). Когда 𝑥 велико, 𝑓(𝑥) представляется асимптотическим рядом

𝑓(𝑥)

∼

⎧

⎪

⎩

π

2

⎫½

⎪

⎭

𝑒

^-𝑥

𝑥

^½

⎡

⎢

⎣

1+

1⋅3

8𝑥

-

1⋅3⋅5

2!

⎧

⎪

⎩

1

8𝑥

⎫²

⎪

⎭

+

+

1⋅3⋅1⋅3⋅5

3!

⎧

⎪

⎩

1

8𝑥

⎫³

⎪

⎭

-…+

(-1)

^𝑛+1

1⋅3⋅5…(2𝑛-3)⋅1⋅3…(2𝑛-1)

𝑛!(8𝑥)^𝑛

⎤

⎥

⎦

.

Для составляющей силы, действующей на электрон в направлении, параллельном направлению движения частицы, имеем (см. рис. 1 на стр. 68)

𝐹

₂

=

𝑒𝐸

𝐴𝐵

𝐴𝐶³

=

𝑒𝐸𝑉𝑡

(𝑉²𝑡²+𝑝²)^3/2

=

𝑚ψ(𝑡)

.

Для энергии, передаваемой электрону при столкновении, получаем таким же образом, как и раньше (учитывая, что 𝑚ψ(𝑡) — нечётная функция 𝑡),

𝑄

₂

=

𝑚

2

⎡

⎢

⎣

_∞

∫

^-∞

sin 𝑛𝑧

ψ(𝑧)

𝑑𝑧

⎤2

⎥

⎦

.

Подставляя выражение для ψ(𝑧), находим

𝑄

₂

=

𝑒²

2𝑚

𝐸²𝑉²

⎡

⎢

⎣

_∞

∫

^-∞

𝑧 sin 𝑛𝑧 𝑑𝑧

(𝑉²𝑧²+𝑝²)^3/2

⎤

⎥

⎦

,

или

𝑄

₂

=

2𝑒²𝐸²

𝑚𝑉²𝑝²

𝑔²

⎧

⎪

⎩

𝑛𝑝

𝑉

⎫

⎪

⎭

,

где

𝑔(𝑥)

=-

1

2

_∞

∫

^-∞

𝑧 sin 𝑥𝑧

(𝑧²+1)^3/2

𝑑𝑧

=

𝑥

2

_∞

∫

^-∞

cos 𝑥𝑧

(𝑧²+1)^1/2

=

𝑓'(𝑥)

;

здесь 𝑓(𝑥) имеет тот же смысл, что и раньше.

Энергия движения электрона в направлении, перпендикулярном направлению движения частицы, всегда меньше для связанного электрона, чем для свободного. Это соотношение, однако, не справедливо для движения электрона в направлении движения частицы.

Для полной энергии, переданной электрону при столкновении, получаем

𝑄

=

𝑄

₁

+𝑄

₂

=

2𝑒²𝐸²

𝑚𝑉²𝑝²

⋅𝑃

⎧

⎪

⎩

𝑛𝑝

𝑉

⎫

⎪

⎭

,

(2)

где 𝑃(𝑥)=𝑓²(𝑥)+𝑔²(𝑥) равно 1 при 𝑥=0 и при больших 𝑥 очень быстро убывает с ростом 𝑥. Заметим, что при 𝑥=0 𝑃'(𝑥)=0.

Рассмотрим теперь прохождение частицы через вещество. Пусть 𝑁 —число атомов в единице объёма, и каждый атом содержит 𝑟 электронов, частота собственных колебаний которых равна 𝑛. Пусть, далее, 𝑎 константа, много бо́льшая λ, но малая по сравнению с 𝑉/𝑛 (см. стр. 67). Тогда для полной энергии 𝑑𝑇, переданной электронам частицей, прошедшей путь 𝑑𝑥, имеем

𝑑𝑇

=

𝑁𝑟

⎡

⎢

⎣

_𝑎

∫

⁰

𝑄

₀

2π𝑝

𝑑𝑝

+

_∞

∫

^𝑎

𝑄

2π𝑝

𝑑𝑝

⎤

⎥

⎦

𝑑𝑥

.

C помощью формул (1) и (2) получаем отсюда

𝑑𝑇

=

4π𝑒²𝐸²𝑁𝑟

𝑚𝑉²

⎡

⎢

⎣

_𝑎

∫

⁰

𝑝 𝑑𝑝

𝑝²+λ²

+

_∞

∫

^𝑎

1

𝑝

𝑃

⎧

⎪

⎩

𝑛𝑝

𝑉

⎫

⎪

⎭

𝑑𝑝

⎤

⎥

⎦

𝑑𝑥

.