Избранные научные труды. Том 1

Пренебрегая величинами порядка (λ/𝑎)² (см. выше), имеем

𝑑𝑇

=

4π𝑒²𝐸²𝑁𝑟

𝑚𝑉²

⎡

⎢

⎣

ln

𝑎

λ

+

_∞

∫

^{𝑎𝑛/𝑉}

1

𝑧

𝑃(𝑧)

𝑑𝑧

⎤

⎥

⎦

𝑑𝑥

=

=

4π𝑒²𝐸²𝑁𝑟

𝑚𝑉²

⎡

⎢

⎣

ln

𝑎

λ

-

ln

𝑎𝑛

𝑉

⋅

𝑃

⎧

⎪

⎩

𝑎𝑛

𝑉

⎫

⎪

⎭

-

_∞

∫

^{𝑎𝑛/𝑉}

ln 𝑧

⋅

𝑃'(𝑧)

𝑑𝑧

⎤

⎥

⎦

𝑑𝑥

.

В соответствии с нашим предположением 𝑎𝑛/𝑉 очень мало. Поэтому мы можем положить 𝑃(𝑎𝑛/𝑉)=1 и в дальнейшем принять в качестве пределов интегрирования 0 и ∞ (так как 𝑃'(0)=0).

Полагая

_∞

∫

⁰

ln 𝑧

⋅

𝑃'(𝑧)

𝑑𝑧

=

-ln 𝑘

,

мы получаем, таким образом,

𝑑𝑇

=

4π𝑒²𝐸²𝑁𝑟

𝑚𝑉²

ln

⎡

⎢

⎣

𝑉³𝑘𝑀𝑚

𝑛𝑒𝐸(𝑀+𝑚)

⎤

⎥

⎦

𝑑𝑥

.

Я подсчитал 𝑘 с помощью приведённых выше формул для 𝑓(𝑥) и получил, что

𝑘=1,123

Если мы предположим, что 𝑟 электронов в атомах имеют различные собственные частоты, которые мы обозначим соответственно через 𝑛₁, 𝑛₂, …, 𝑛_𝑟, то

𝑑𝑇

=

4π𝑒²𝐸²𝑁

𝑚𝑉²

𝑑𝑥

_𝑟

∑

^𝑠=1

ln

⎡

⎢

⎣

𝑉³𝑘𝑀𝑚

𝑛_𝑠𝑒𝐸(𝑀+𝑚)

⎤

⎥

⎦

.

(3)

Так как 𝑑𝑇 означает уменьшение кинетической энергии частицы, т. е. величины ½𝑀𝑉², имеем

𝑑𝑉

𝑑𝑥

=-

4π𝑒²𝐸²𝑁

𝑚𝑀𝑉³

_𝑟

∑

^𝑠=1

ln

⎡

⎢

⎣

𝑉³𝑘𝑀𝑚

𝑛_𝑠𝑒𝐸(𝑀+𝑚)

⎤

⎥

⎦

.

(4)

При выводе формулы (4) мы учитывали только взаимодействие частицы с электронами и не учитывали её взаимодействия с центральным зарядом атома. Однако, как показал Дарвин ¹, влияние этого последнего взаимодействия пренебрежимо мало по сравнению с первым; этот вывод справедлив и в представленной здесь теории.

¹ С. G. Darwin. Phil. Mag., 1912, 23, 907.

Формула (4) представляет уменьшение скорости движущейся заряженной частицы на единицу пути как функцию скорости частицы, числа электронов в атоме и их собственных частот. Если 𝑉 очень велико, логарифмы в формуле (4) можно считать постоянными. При этом получим соотношение, связывающее скорость частицы 𝑉 с расстоянием, которое она прошла в веществе. Обозначая скорость при 𝑥=0 через 𝑉₀, имеем

𝑉

₄

⁰

-

𝑉

₄

^𝑥

=

𝑎𝑥

,

где

𝑎

=

16π𝑒²𝐸²𝑁

𝑚𝑀

ln

⎡

⎢

⎣

𝑉³₀𝑘𝑀𝑚

𝑛_𝑠𝑒𝐸(𝑀+𝑚)

⎤

⎥

⎦

.

Это соотношение имеет ту же форму, что и выведенное Дж. Дж. Томсоном, и, как показано Уиддингтоном, приближённо выполняется в случае катодных лучей (см. стр. 63). Для бо́льших скоростей, отвечающих более энергичным β-лучам, зависимость 𝑉 от 𝑥 должна быть видоизменена с учётом быстрого возрастания массы частицы по мере приближения её скорости к скорости света (см. ниже, стр. 81).

В случае меньших скоростей частиц логарифмический член, входящий в соотношение между 𝑉 и 𝑥, приводит к некоторому изменению этого соотношения, понижая степень 𝑉 в правой части уравнения (5), что находится в соответствии с экспериментами по α-лучам.

Если мы примем, что число электронов пропорционально атомному весу, а собственная частота электронов также возрастает с его ростом, то мы непосредственно увидим, что формула (4) описывает некоторые наиболее существенные особенности поглощения α-лучей различными элементами. Она объясняет тот факт, что поглощение возрастает с увеличением атомного веса элементов (при одинаковом весе поглощающего вещества, отнесённого к единице поверхности — в см²).¹

¹ W. Н. Bragg, R. Kleeman. Phil. Mag., 1905, 10, 318.

Далее находит свое объяснение и то обстоятельство, что отношение величин поглощения для разных элементов меняется с ростом скорости α-лучей, причём это изменение тем заметнее, чем больше скорость этих лучей и атомный вес элемента ².

² T. S. Taylor. Phil. Mag., 1909, 18, 604.

Однако при более подробном количественном сравнении теории с экспериментом мы должны заметить, что при выводе формулы (4) мы использовали некоторые предположения о частоте колебаний и скорости электронов, которые могут не удовлетворяться для всех электронов рассматриваемых атомов при данной скорости частиц. Вот эти предположения.

1. Частота 𝑛 мала по сравнению с 𝑉/λ.

2. Скорость невозмущённого движения электронов по орбитам, τ, мала по сравнению со скоростью частиц.

3. Размеры рассматриваемых орбит ρ малы по сравнению с 𝑉/𝑛 (см. стр. 68).

Так как по порядку величины τ и ρ связаны соотношением τ = 𝑛ρ, мы видим, что условие „2“ выполняется одновременно с условием „3“. При расчётах было сделано ещё одно предположение.

4. В столкновениях, при которых мы должны принимать во внимание силы, действующие на частицу со стороны атомов, смещение электронов под действием сил со стороны частицы мало по сравнению с размерами их невозмущённых орбит. Другими словами, при таких столкновениях не происходит ионизации. Поскольку, однако, силы взаимодействия электронов с частицей по порядку величины равны силе их взаимодействия с центральным зарядом и другими электронами (при одних и тех же расстояниях), мы видим, что условие „4“ выполняется, если справедливо условие „3“.

Если указанные соотношения не выполняются, то представляется очень трудным учесть, какие изменения будут внесены этим в результат. Однако легко видеть, что если величины 𝑛λ/𝑉 и 𝑛λ/𝑉 малы, то соответствующие поправки пропорциональны их квадратам ³.

³ Cp. II, стр. 902.

СРАВНЕНИЕ С ЭКСПЕРИМЕНТАМИ

I. α-лучи

Рассмотрим сначала поглощение α-лучей, поскольку поведение этих лучей в отношении рассеяния на малые углы известно гораздо лучше, чем в случае β- и катодных лучей.