Избранные научные труды. Том 1

где 𝑚 — целое число (меньшее 𝑛), для которого

𝑝

_𝑛,𝑘

=

1

8

_𝑠=𝑛-1

∑

^𝑠=1

cos 2𝑘

𝑠π

𝑛

cosec³

𝑠π

𝑛

имеем наименьшее значение. Это условие идентично условию равновесия, выведенного на основе рассуждений обычной механики для смещений электронов перпендикулярно плоскости кольца ¹.

¹ Ср.: J. W. Nicholson. Month. Not. Roy. Astr. Soc., 1912, 72, 52.

Для наглядной иллюстрации представим себе, что рассматриваемые смещения вызваны внешними силами, действующими на электрон параллельно оси кольца. Если смещения происходят бесконечно медленно, то движение электронов в каждое мгновение происходит нормально первоначальной плоскости кольца; момент импульса каждого электрона относительно центра своей круговой орбиты, очевидно, равен первоначальному значению. Прирост потенциальной энергии системы будет равняться работе внешних сил, вызвавших смещения. С помощью таких рассуждений мы приходим к допущению, что в противоположность случаю колебаний в плоскости кольца обычная механика может применяться при расчёте колебаний электронов, перпендикулярных плоскости кольца. Это предположение подтверждается согласием с наблюдениями, выполненными Никольсоном в связи с его теорией о происхождении линий в спектрах солнечной короны и звёздных туманностей (см. часть I, стр. 89 и 104). Кроме того, позже будет показано, что это предположение согласуется и с опытами по дисперсии.

Значения 𝑠_𝑛 и 𝑝_𝑛,0 - 𝑝_𝑛,𝑚 от 𝑛 = 1 до 𝑛 = 16 даны в табл. 1.

Таблица 1

𝑛

𝑠_𝑛

𝑝_𝑛,0 - 𝑝_𝑛,𝑚

𝑛

𝑠_𝑛

𝑝_𝑛,0 - 𝑝_𝑛,𝑚

1

0

0

9

3,328

13,14

2

0,25

0,25

10

3,863

18,13

3

0,577

0,58

11

4,416

23,60

4

0,957

1,41

12

4,984

30,80

5

1,377

2,43

13

5,565

38,57

6

1,828

4,25

14

6,159

48,38

7

2,305

6,35

15

6,764

58,83

8

2,805

9,56

16

7,379

71,65

Из таблицы видно, что число электронов, которые могут вращаться вокруг ядра с зарядом 𝑁𝑒 в одном кольце, очень медленно растет с увеличением 𝑁; для 𝑁 = 20 наибольшее значение 𝑛 = 10; для 𝑁 = 40, 𝑛 = 13; для 𝑁 = 60, 𝑛 = 15. Мы видим далее, что рой из 𝑛 электронов не может вращаться вокруг ядра с зарядом 𝑛𝑒 в единственном кольце, если только 𝑛 не меньше 8.

Выше мы предполагали, что электроны движутся под влиянием стационарной радиальной силы и что их орбиты в точности круговые. Первое условие не выполняется, если рассматриваемая система содержит несколько электронных колец, вращающихся с разными частотами. Если же расстояние между кольцами не мало по сравнению с их радиусами, а отношение частот не близко к единице, то отклонение орбиты от круговой очень мало. Тогда движение электронов почти идентично установленному из допущения, что, заряд электронов равномерно распределен по кольцу. Если отношение радиусов колец не близко к единице, то получаемые из этого допущения условия устойчивости можно считать достаточными.

В § 1 мы предположили, что электроны в атоме вращаются в коаксиальных кольцах. Расчёт показывает, что плоскости колец могут разделиться только в случае систем, содержащих большое число электронов; в системах, содержащих ограниченное число электронов, все кольца лежат в одной единственной плоскости, проходящей через ядро. Простоты ради мы будем рассматривать только последние.

Рассмотрим электрический заряд 𝐸 равномерно распределённый по окружности радиуса 𝑎. В точке, расположенной на расстоянии 𝑧 от плоскости и 𝑟 от оси кольца, электростатический потенциал задаётся выражением

𝑈

=

1

π

𝐸

_π

∫

⁰

𝑑θ

√𝑎² + 𝑟² + 𝑧² - 2𝑎𝑟 cos θ

.

Если положить 𝑧 = 0 и 𝑟/𝑎 = tg²α и использовать обозначение

𝐾(α)

=

_π/2

∫

⁰

𝑑θ

√1 - sin²α cos²θ

,

то для радиальной силы, действующей на электрон в некоторой точке плоскости кольца, получим

𝑒

∂𝑈

∂𝑟

=

𝐸𝑒

𝑟²

𝑄(α)

,

где

𝑄(α)

=

2

π

sin

⁴

α

[

𝐾(2α)

-ctg α⋅

𝐾'(2α)

].

Соответствующая сила, перпендикулярная плоскости кольца, на расстоянии 𝑟 от центра кольца на небольшом расстоянии δ𝑧 от его плоскости будет равна

𝑒

∂𝑈

∂𝑟

=

𝐸𝑒δ𝑧

𝑟³

𝑅(α)

,

где

𝑅(α)

=

2

π

sin

⁶

α

[

𝐾(2α)

 + tg(2α)⋅

𝐾'(2α)

].

Краткая таблица функций 𝑄(α) и 𝑅(α) дана на стр. 115.

Далее рассмотрим систему, содержащую некоторое число концентрических электронных колец, вращающихся в одной и той же плоскости вокруг ядра с зарядом 𝑁𝑒. Пусть радиусы колец будут 𝑎₁, 𝑎₂, …, а число электронов на различных кольцах — 𝑛₁, 𝑛₂, ….

Положив 𝑎_𝑟/𝑎_𝑠 = tg² α_𝑟,𝑠, получим для радиальной силы, действующей на электрон в 𝑟-м кольце,

𝑒²

𝑎²_𝑟

𝐹

_𝑟

,

где

𝐹

_𝑟

,

=

𝑁 - 𝑠 -

∑

𝑛

_𝑠

𝑄(α

_𝑟,𝑠

)

.

Суммирование проводится по всем кольцам, за исключением рассматриваемого.

Если распределение электронов в различных кольцах известно, то по формуле (1) на стр. 109 с помощью вышеизложенного можно определить 𝑎₁, 𝑎₂, …. Расчёт можно провести путём последовательных приближений; при этом мы исходим из значений для величин α и по ним вычисляем величины 𝐹, а затем вновь определяем значения α по формуле (1), что даёт 𝐹_𝑠/𝐹_𝑟 = 𝑎_𝑠/𝑎_𝑟 = tg²(α_𝑠,𝑟) и т. д.