Избранные научные труды. Том 1

Если 𝐹 известно, размеры и частота упомянутых орбит определяются просто из формул (1) и (2). Для кольца из 𝑛 электронов, вращающегося вокруг ядра с зарядом +𝑛𝑒, имеем (ср. часть I, стр. 102)

𝐹=𝑁-𝑠

_𝑛

,

 где

𝑠

_𝑛

=

1

4

_𝑠=𝑛-1

∑

^𝑠=1

cosec

𝑠π

𝑛

.

Значения 𝑠_𝑛 от 𝑛 = 1 до 𝑛 = 16 даны в таблице на стр. 112.

Мы показали (см. часть I, стр. 105), что для систем, состоящих из ядер и электронов, вращающихся вокруг них по круговым орбитам со скоростями, малыми по сравнению со скоростью света, суммарная кинетическая энергия электронов равна общему количеству энергии, испущенной при образовании системы из первоначального расположения, в котором частицы покоились и находились бесконечно далеко друг от друга. Если обозначить эту энергию через 𝑊, имеем

𝑊

=

∑

𝑚

2

𝑣²

=

2π²𝑒²𝑚

ℎ²

∑

𝐹²

.

(3)

Если в соотношениях (1), (2) и (3) подставить значения 𝑒 = 4,7⋅10^-10, 𝑒/𝑚 = 5,31⋅10^-17 и ℎ = 6,5⋅10^-27, получим

𝑎 = 0,55⋅10

^-8

𝐹

^-1

,

𝑣 = 2,1⋅10

⁸

𝐹

ω = 6,2⋅10

¹⁵

𝐹

²

,

𝑊 = 2,0⋅10

^-11

∑

𝐹

²

.

(4)

В первой части работы мы пренебрегли магнитными силами, возникающими при движении электронов; это означает, что предполагалась малая скорость частиц по сравнению со скоростью света. Приведённые выше расчёты показывают, что это осуществляется, если 𝐹 мало по сравнению с 150. Как мы увидим, последнее условие выполняется для всех электронов в атомах элементов с небольшим атомным весом и для большей части электронов в атомах других элементов.

Если скорость электронов не мала по сравнению со скоростью света, то постоянство момента импульса уже не предопределяет постоянства отношения между энергией и частотой обращения. В этом случае на основе соображений части I без введения новых допущений нельзя определить расположение электронов в системе. Но дальнейшее рассмотрение показывает, что постоянство момента импульса всё-таки остаётся главным условием. Если применять это условие к скоростям, не малым по сравнению со скоростью света, то мы получим то же выражение для 𝑣 что и в (1), с той лишь разницей, что величина 𝑚 в выражениях для 𝑎 и ω заменяется на 𝑚/√1-(𝑣²/𝑐²), а в выражении для 𝑊 — на

𝑚⋅2

𝑐²

𝑣²

⎧

⎪

⎩

1-

⎡

⎢

⎣

1-

𝑣²

𝑐²

⎤½

⎥

⎦

⎫

⎪

⎭

.

Как уже установлено в части I, основанный на обычной механике расчёт показывает, что кольцо электронов, вращающееся вокруг ядра, вообще неустойчиво при смещениях электронов в плоскости кольца. Чтобы избежать этой трудности, мы предположили, что обычные принципы механики столь же мало применимы при рассмотрении упомянутой проблемы, как и при рассмотрении механизма связывания электронов. Мы также предположили, что устойчивость относительно таких смещений обеспечена введением гипотезы универсального постоянства момента импульса электронов.

Как легко показать, последнее предположение включено в § 1 в условие устойчивости. Рассмотрим кольцо электронов, вращающееся вокруг ядра, и допустим, что система находится в динамическом равновесии, причём 𝑎₀ — радиус кольца, 𝑣₀ — скорость электронов, 𝑇₀ — общая кинетическая энергия и 𝑃₀ — потенциальная энергия. Как показана в части I (стр. 102), 𝑃₀ = -2𝑇₀. Рассмотрим сначала такую конфигурацию системы, при которой под влиянием внешних сил электроны вращаются вокруг ядра с одинаковым моментом импульса в кольце радиуса 𝑎 = α𝑎₀. В этом случае 𝑃 = (1/α)𝑃₀ и вследствие одинаковости моментов импульса 𝑣 = (1/α)𝑣₀ и 𝑇 = (1/α)²𝑇₀. Если использовать соотношение 𝑃₀ = -2𝑇₀, то получим

𝑃+𝑇

=

1

α

𝑃

₀

+

1

α²

𝑇

₀

=

𝑃

₀

+

𝑇

₀

+

𝑇

₀

⎧

⎪

⎩

1-

1

α

⎫2

⎪

⎭

.

Мы видим, что общая энергия при новой конфигурации больше, чем при первоначальной. Согласно условию устойчивости § 1, система устойчива при рассмотренном смещении. В этой связи нужно отметить сделанное в части I предположение, что частота испускаемого или поглощаемого системой излучения не может определяться частотами колебаний электронов в плоскости орбит, как это вытекает из расчётов с помощью обычной механики. Напротив, мы предположили, что частота излучения определяется условием ℎν = 𝐸, где ν — частота, ℎ — постоянная Планка, 𝐸 — разница в энергиях двух различных стационарных состояний системы.

Для исследования устойчивости электронного кольца, вращающегося вокруг ядра, относительно смещений электронов, перпендикулярных к плоскости кольца, рассмотрим расположение системы, при котором электроны смещены соответственно на δ𝑧₁, δ𝑧₂, …, δ𝑧_𝑛, и примем, что электроны под действием внешних сил вращаются по круговым орбитам вокруг оси системы в плоскостях, параллельных первоначальным плоскостям, с теми же радиусами и моментами импульса, как и раньше. Кинетическая энергия при смещении меняется; если пренебречь степенями δ𝑧₁, δ𝑧₂, …, δ𝑧_𝑛 выше второй, то прирост потенциальной энергии имеет вид

1

2

𝑒²

𝑎³

𝑁

∑

(δ𝑧)²

-

1

32

𝑒²

𝑎³

∑∑

⎪

⎪

⎪

cosec³

π(𝑟-𝑠)

𝑛

⎪

⎪

⎪

(δ𝑧

_𝑟

-δ𝑧

_𝑠

)²

,

где 𝑎 — радиус кольца, 𝑁𝑒 — заряд ядра, 𝑛 — число электронов. Согласно условию устойчивости § 1, система будет устойчивой при рассматриваемых смещениях, если приведённое выше выражение положительно для произвольных значений δ𝑧₁, δ𝑧₂, …, δ𝑧_𝑛. Простым расчётом можно показать, что последнее требование эквивалентно условию

𝑁 > 𝑝

_𝑛,0

-𝑝

_𝑛,𝑚

,

(5)