Избранные научные труды. Том 1

Как и в случае единственного кольца, мы здесь также предположим, что система устойчива относительно смещений электронов в плоскости своей орбиты. При расчёте, подобном приведённому на стр. 111, строго говоря, нужно учитывать взаимодействие колец. Это взаимодействие приведёт к тому, что величины 𝐹 в отличие от случая единственного вращающегося кольца не будут уже постоянными; они будут меняться с радиусами колец. Но если отношение радиусов колец не очень близко к единице, то изменение 𝐹 слишком мало, чтобы влиять на результат расчёта.

Если мы рассматриваем устойчивость системы относительно смещений электронов перпендикулярно плоскости кольца, то необходимо делать различие между смещениями, при которых центр тяжести электронов в отдельных кольцах остаётся неизменным, и смещениями, при которых все электроны сдвигаются внутри колец в том же направлении. Условие стабильности для смещений первого рода вытекает из условия (5) на стр. 111, если для каждого кольца заменить 𝑁 величиной 𝐺_𝑟. Эта величина определяется из условия, чтобы 𝑒²/𝑎³_𝑟𝐺_𝑟δ𝑧 было равно перпендикулярной (плоскости кольца) составляющей той силы, которая действует на электрон, испытывающий малое смещение δ𝑥, со стороны ядра и электронов-других колец. Используя те же обозначения, что и выше, получаем

𝐺

_𝑟

,

=

𝑁 -

∑

𝑛

_𝑠

𝑅(α

_𝑟,𝑠

)

.

Если все электроны одного из колец смещаются внешними силами в одном и том же направлении, то подобное смещение вызовет соответствующее смещение электронов в остальных кольцах и это воздействие окажет влияние на устойчивость. Рассмотрим, например, систему 𝑚 концентрических колец, вращающихся в одной плоскости вокруг ядра с зарядом 𝑁 и допустим, что в различных кольцах электроны смещены перпендикулярно этой плоскости соответственно на δ𝑧₁, δ𝑧₂, …, δ𝑧_𝑚, В принятых здесь обозначениях прирост потенциальной энергии системы имеет вид

1

2

𝑁

∑

𝑛

_𝑟

𝑒²

𝑎²_𝑛

(δ𝑧

_𝑛

)²

-

1

4

∑∑

𝑛

_𝑟

𝑛

_𝑠

𝑒²

𝑎²_𝑟

𝑅(α

_𝑟,𝑠

)

(δ𝑧

_𝑟

-δ𝑧

_𝑠

)²

.

Условие стабильности утверждает, что это выражение должно быть положительным для произвольных значений δ𝑧₁, …, δ𝑧_𝑚. Это условие можно просто учесть обычным способом. По сравнению с условием устойчивости относительно рассмотренных выше смещений это условие не оказывает заметного влияния, за исключением случаев, когда система содержит различные кольца с небольшим числом электронов.

Значения 𝑄(α) и 𝑅(α) для α от α= 20° до α= 70°, дающие представление о порядке величины этих функций, приведены в табл. 2.

Таблица 2

α

tg²α

𝑄(α)

𝑅(α)

α

tg²α

𝑄(α)

𝑅(α)

20

0,132

0,001

0,002

50

1,420

1,708

4,438

25

0,217

0,005

0,011

55

2,040

1,233

1,839

30

0,333

0,021

0,048

60

3,000

1,093

1,301

35

0,490

0,080

0,217

65

4,599

1,037

1,115

40

0,704

0,373

1,549

70

7,548

1,013

1,041

45

1,000

-

-

Величина tg²α в этой таблице означает отношение радиусов колец (tg²α = 𝑎_𝑟/𝑎_𝑠). Значения 𝑄(α) показывают, что, если только отношение радиусов колец не близко к единице, воздействие внешних колец на размеры внутренних очень мало, а соответствующее воздействие внутренних колец на внешние приблизительно компенсирует действие части заряда ядра соответственно числу электронов в кольце. Значения 𝑅(α) показывают, что воздействие внешних колец на устойчивость внутренних, хоть и больше, чем влияние на их размеры, всё-таки мало. Но если значение отношения радиусов не очень велико, воздействие внутренних колец на стабильность внешних заметно больше, чем нужно для нейтрализации, соответствующей части заряда ядра.

Наибольшее число электронов, которое может содержаться во внутреннем кольце без нарушения его устойчивости, примерно равно вычисленному на стр. 112 для единственного кольца, вращающегося вокруг ядра. Однако для внутренних колец мы получаем значительно меньшие числа, чем соответствующие условию (5) при замене 𝑁𝑒 общим зарядом ядра и электронов внутреннего кольца.

Если система колец, вращающихся вокруг ядра в одной плоскости, устойчива относительно малых смещений электронов, перпендикулярных этой плоскости, то в общем не существует таких устойчивых расположений колец, удовлетворяющих условию постоянства моментов импульсов электронов, при которых все кольца не лежали бы в этой плоскости. Исключение встречается только в особом случае двух колец с одинаковым числом электронов. В этом случае возможно устойчивое расположение, при котором оба кольца имеют одинаковые радиусы и вращаются вокруг ядра на равных расстояниях в параллельных плоскостях, причём электроны в одном кольце расположены как раз напротив свободных промежутков в другом кольце. Но последнее расположение неустойчиво, если будет устойчивым расположение, при котором все электроны обоих колец находятся внутри одного кольца.

§ 3. Строение атомов, имеющих очень малое число электронов