Как постепенно дошли люди до настоящей арифметики с таблицей

1) Самымъ простымъ, общедоступнымъ путемъ дленія, правда длиннымъ и утомительнымъ, является замна дленія вычитаніемъ; поэтому вс народы, которые находятся на низшихъ ступеняхъ развитія, производятъ дленіе при ломощи вычитанія: потому также полезно было бы давать и малымъ дтямъ нсколько упражненій на послдовательное вычитаніе, прежде чмъ переходить съ ними къ дленію. Примровъ замны дленія вычитаніемъ можно указать много у разныхъ народовъ, особенно же среди мало образованныхъ классовъ. Такъ, въ средніе вка въ Германіи среди простого народа часто употреблялся счетъ на маркахъ, т.-е. на костяшкахъ—костяшки эти клались въ колонны, въ особую колонну для каждаго разряда— въ такомъ случа длитель откладывался отъ длимаго столько разъ, сколько было возможно, и число отложенныхъ длителей показывало величину отвта, потому что раздлить—значитъ узнать, сколько разъ длитель содержится въ длимомъ.

2) Замна дленія умноженіемъ нсколько трудне, чмъ замна его вычитаніемъ; она не такъ доступна, понятна и наглядна; ее мы встрчаемъ на тхъ ступеняхъ развитія науки, когда совершается переходъ отъ простонародныхъ пріемовъ вычисленія къ точнымъ научнымъ пріемамъ. Такъ, напр., у индусовъ до выработки нормальныхъ способовъ дленія мы видимъ массу попытокъ привести его къ умноженію; при этомъ и само умноженіе совершается такимъ искусственнымъ порядкомъ, какой встрчается еще въ глубокой древности у египтянъ, распространенъ былъ среди всхъ народовъ и пользуется до сегодня популярностью среди самоучекъ и немудрыхъ счетчиковъ. Для поясненія беремъ примръ у Евтокія, греческаго писателя въ VI в. по Р. X. Требуется раздлить 6152 на 15. Для этого Евтокій составляетъ рядъ чиселъ, кратныхъ 15-ти: 15, 30, 60, 90, 120,150, 180, 210: 240, 270, 300, 600, 900,1200, 1800, 2100, 2400, 2700, 3000, 6000. Рядъ этотъ, какъ видимъ, содержитъ не вс кратныя числа, но онъ только пролагаетъ путь къ тому, чтобы догадаться, что 6000 кратно 15, и что въ 6000 содержится 15 четыреста разъ. Остается теперь раздлить 152 на 15. Для этого Евтокій снова соcтавляетъ подобный же рядъ: 15, 30, 60, 90, 150 и выводитъ, что 15 въ 150-ти содержится 10 разъ. Всего въ отвт получится 410 и 2 въ. остатк.

3) Слдующей попыткой къ упрощенію дленія является расчлененіе длителя на производителей; оно и теперь примняется съ большимъ успхомъ, особенно при устномъ счет; именно, чтобы раздлить, напр., на 8, можно раздлить данное число пополамъ, полученный отвтъ опять пополамъ и вновь полученный отвтъ еще разъ пополамъ. Для письменнаго вычисленія такой порядокъ особенно рекомендуется итальянцемъ Леонардо Фибонначи (около 1200 г. по Р. X.); при этомъ, въ случа дробнаго частнаго, у него получаетея рядъ дробей съ возрастающиии знаменателями.

Оригинальный пріемъ, основанный на той же иде, даетъ Апіанъ (XVI в. по Р. X.); у него проскальзываетъ нчто въ род десятичныхъ дробей, хотя въ его время теорія десятичныхъ дробей находилась въ самомъ зачаточномъ состояніи.

Положимъ, ему надо раздлить 11664 на 48; онъ сперва вычисляетъ 11664:6, потомъ отъ каждаго полученнаго разряда беретъ вооьмую долю, это легко достигается тмъ, что каждый разрядъ по-множается на 0125, такъ какъ 1:8=0,125. Все дйствіе можно представить въ такомъ вид.

Объясняется это вычисленіе слдующимъ образомъ. Длимъ 11 тыс. на 6, получаемъ 5 въ остатк и 1 въ частномъ; 5 пишемъ надъ 1, а единицу частнаго умножаемъ на 0125 и пишемъ прямо подъ чертой. Дале, 56 сот.: 6=9 сот. и 2 сотни въ остатк; остатокъ помщаемъ надъ 6-ю, а 9 надо умножить на 0125; для этого Апіанъ множитъ отдльно 0125 на 5 и на 4, получаетъ 0625 и 05; при записываніи цифра 5 у числа 0625 подвигается вправо за черту, потому что это будутъ уже не цлыя единицы, а только десятыг доли. Теперь 26 десятковъ надо длить на 6, будетъ въ частномъ 4 десятка; помножить 4 на 0125, получится 5—столько простых единицъ, ихъ пишемъ. Наконецъ, 24:6 — 4, 4x0125 = 5, это будутъ десятыя доли, и ихъ слдуетъ писать за чертой вправо. Остается сложить вс отдльныя частныя и тогда получится общій отвтъ 243.

4) Вс три предыдущихъ способа уступаютъ нашему, которымъ мы, обыкновенно, пользуемся: они трудне и длинне нашего. Но вотъ методъ Тиллиха, предложенный имъ въ 1806 г. Онъ уже вытекаетъ изъ нормальнаго пріема и стремится еще боле его усовершенство-вать. Суть его состоитъ въ слдующемъ. При дленіи на однозначное число, напр., на 3, не сносятъ остатковъ къ слдующему низшему разряду, а стараются раздлить каждый разрядъ вполн, хотя бы для этого пришлось воспользоваться и дробнымъ частнымъ. Согласно этому, дйствіе 56789:3 располагается такъ: