Хаос. Создание новой науки

У Пайтгена не было того предубеждения, с которым большинство математиков относились к компьютерным экспериментам. Само собой разумелось, что все результаты должны быть строго доказаны стандартными методами, иначе это будет не математика. Зафиксировать графический образ на экране не означало доказать его право на существование на языке теорем и доказательств. И все-таки возможность генерирования такого изображения уже сама по себе изменяла эволюцию математики. Как полагал Пайтген, компьютерные исследования позволили ученым избрать более естественную стезю развития науки. Математик мог на время абстрагироваться от требования точности доказательства и, подобно физику, следовать туда, куда приведут его эксперименты. Огромная производительность компьютерных вычислений и визуальные ключи к интуитивным ощущениям дают некий надежный путь и избавляют ученых от блуждания в потемках. Открыв неизвестные тропы и выделив новые объекты, математик может вернуться к традиционному доказательству. «Сила математики в строгости, – отметил Пайтген. – Она дает нам возможность продолжать ту линию мысли, в которой мы абсолютно уверены. На том стояли и будут стоять математики. Но почему бы не обратить внимание на феномены, которые сейчас могут быть поняты лишь отчасти? Более строгое знание о них, возможно, добудут грядущие поколения. Бесспорно, строгость важна, но не до такой степени, чтобы отказаться от изучения чего-то, потому что я не могу доказать это сейчас»[298]

.

К началу 1980-х годов персональные компьютеры уже выполняли расчеты достаточно точно, что позволяло строить красочные изображения множества Мандельброта. Многочисленные их любители быстро обнаружили, что разглядывание этих изображений при все большем увеличении дает четкое ощущение увеличивающегося масштаба. Если бы множество Мандельброта было размером с планету, компьютер мог бы показать и его целиком, и элементы размером с город, и детали, соразмерные со зданиями, отдельными комнатами в них, книгами на полках, письмами в ящиках стола, бактериями в воздухе или даже атомами различных веществ. Люди, рассматривая такие картины, замечали, что при любом масштабировании обнаруживались схожие образы и одновременно каждый масштаб обладал своими особенностями. Подобные микроскопические ландшафты генерировались одним набором из нескольких строчек компьютерного кода[299]

.

Граница находится там, где программа для построения множества Мандельброта тратит больше всего времени и допускает наибольшее количество компромиссов. Когда результат неясен после ста, или тысячи, или десяти тысяч итераций, программа не может быть полностью уверена, что точка принадлежит множеству Мандельброта. Кто знает, что принесет миллионная итерация? Поэтому программы, которые строят самые захватывающие изображения множества с наиболее детальным увеличением, выполняются на мощных вычислительных машинах или на компьютерах с параллельной обработкой данных, где тысячи индивидуальных процессоров производят вычисления по одним и тем же правилам. Граница располагается там, где точки медленнее всего ускользают от притяжения множества, будто балансируя между двумя соревнующимися аттракторами, один из которых располагается в нуле, а другой – на бесконечности[300].

Когда ученые переключились с самого множества Мандельброта на новые задачи о представлении реальных физических явлений, на передний план вышли свойства границы. Происходящее на рубеже между двумя или более аттракторами в динамической системе служит своего рода отправной точкой, определяющей ход множества заурядных процессов, начиная от разрушения материалов и заканчивая принятием решений. Каждый аттрактор в такой системе, подобно реке, имеет свой «бассейн», свою «площадь водосбора», и каждый такой «бассейн» заключен в определенные границы. В начале 1980-х годов для группы наиболее влиятельных ученых самым многообещающим новым разделом математики и физики оказалось изучение границ фрактальных бассейнов.