Хаос. Создание новой науки

Чтобы быстро сыграть в такую игру, необходим компьютер с графическим экраном и генератором случайных чисел, но в принципе будет достаточно листа бумаги и монетки. Выбираем на листе начальную точку – неважно, где именно. Придумываем два правила – для орла и для решки. Правила указывают, каким образом откладывать одну точку от другой, например: «Переместиться на два дюйма на северо-восток» или «Приблизиться на 25 % к центру». Подбрасывая монетку, начинаем отмечать точки. Используем правило орла, когда выпадает орел, и правило решки, когда выпадает решка. Если мы отбросим первые пятьдесят точек, как сдающий карты прячет первые несколько карт при новой сдаче, то обнаружится, что «игра хаоса» воспроизводит не случайный набор точек, а фигуру, проявляющуюся все более и более четко по мере продолжения игры.

Основное предположение Барнсли звучало так: множества Жюлиа и другие фрактальные формы, хотя и верно считаются итогом детерминистского процесса, обладают второй равнозначной ипостасью как предел случайного процесса. Для сравнения ученый предложил представить, к примеру, карту Великобритании, нарисованную мелом на полу комнаты. Топографу со стандартным набором инструментов будет весьма непросто измерить площадь такой сложной фигуры со всеми ее фрактальными береговыми линиями. Но вообразите, что мы подбрасываем в воздух одно за другим зернышки риса, которые в беспорядке ложатся на пол, а затем подсчитываем количество зерен, оказавшихся в пределах контура карты. Со временем результат начинает приближаться к площади интересующей нас фигуры – как предел случайного процесса. Если говорить на языке динамики, фигуры Барнсли оказались аттракторами.

«Игра хаоса» использовала фрактальные качества некоторых изображений, а именно – тот факт, что они могли быть созданы из малых копий основной картины. Выбор правил для последующего случайного итерирования позволяет уловить основополагающую информацию о той или иной фигуре, а само итерирование правил выдает эти же данные обратно независимо от масштаба. В этом смысле чем более фрактальной является форма, тем более простыми окажутся соответствующие правила. И Барнсли быстро обнаружил, что может воспроизвести все ставшие уже классическими фракталы из книги Мандельброта. Техника последнего представляла собой бесконечную последовательность построений и совершенствований: скажем, для создания снежинки Коха или ковра Серпинского нужно, удалив линейные отрезки, заменить их строго определенными фигурами. Применяя вместо этого «игру хаоса», Барнсли создавал изображения, казавшиеся вначале лишь расплывчатыми карикатурами, но со временем вырисовывавшиеся все более четко. Вместо процесса усовершенствования, в котором не возникло необходимости, использовался лишь один набор правил, с помощью которого в итоге и воплощалась нужная форма.

Барнсли и его коллеги начали безудержно конструировать различные изображения, многообразные формы, напоминавшие изогнутые капустные листья, налет плесневых грибков и брызги грязи. Ключевым теперь стал вопрос о том, как повернуть процесс вспять, как вывести набор правил для заданной формы. Ответ, названный ученым «теоремой коллажа», оказался настолько бессмысленно простым, что заставлял слушателей подозревать подвох. Для начала следует изобразить на экране форму, которую вы хотите воспроизвести. (Барнсли, будучи давним любителем папоротников, выбрал для первых опытов один из них – костенец черный.) Затем, используя компьютерную мышь в качестве указки, нужно устлать первоначальную форму ее уменьшенными копиями, позволяя им, если необходимо, чуть накладываться друг на друга. В высшей степени фрактальную фигуру можно легко покрыть ее копиями, с менее фрактальной дело пойдет сложнее, но с разной степенью приблизительности каждую форму можно устлать ее миниатюрными копиями.

«Игра хаоса». Каждая новая точка ложится случайным образом, но постепенно вырисовывается изображение папоротника. Вся необходимая информация закодирована в нескольких простых правилах.

«Если рисунок достаточно сложен, правила также будут непростыми, – пояснял Барнсли. – С другой стороны, если объект содержит в себе скрытый фрактальный порядок – а основное наблюдение Бенуа заключается в том, что множество явлений в природе обладают им, – тогда с помощью нескольких правил его можно расшифровать. В данном случае модель окажется более занимательной, чем та, что создана при помощи евклидовой геометрии. Ведь известно, что, взглянув на краешек листа, мы не увидим прямых линий»[309]. Его первый папоротник, созданный на небольшом персональном компьютере, точно соответствовал изображению в книге, хранимой ученым с детских лет. «Этот образ ошеломлял своей достоверностью. Любой биолог без труда идентифицирует его».