Хаос. Создание новой науки

До компьютерной эры даже Жюлиа и Фату, понимавшие, какие возможности таит в себе новый тип построений, не могли превратить его в науку. С появлением вычислительных машин «геометрия проб и ошибок» получила право на жизнь. Хаббард изучил метод Ньютона, последовательно рассчитав поведение точек. Мандельброт впервые увидел свое множество аналогичным образом, применяя компьютер для перехода от одной точки на плоскости к другой. Конечно, он исследовал не все точки – время и возможности компьютера ограниченны. Ученый использовал решетку точек, нечто вроде координатной сетки. Более частая решетка давала более точную картину, но требовала и более трудоемких вычислений. Впрочем, рассчитать множество Мандельброта довольно просто. Весь процесс сводится к итерированию в комплексной плоскости выражения z→z²+ с. Нужно лишь, взяв число, умножить его само на себя и прибавить его первоначальное значение.

Освоившись с новым способом исследования фигур при помощи компьютера, Хаббард также решил привнести новый математический стиль мышления и применить для рассмотрения динамических систем методы комплексного анализа, чего раньше не делали. Он чувствовал, что все может быть собрано вместе. Различные разделы математики в определенных местах сходятся воедино. Хаббард также знал, что будет недостаточно лишь увидеть множество Мандельброта. Он хотел добиться полной ясности. В конце концов он заявил, что это ему удалось.

Если бы граница была просто фрактальной – в духе причудливых картин Мандельброта, – тогда каждое последующее изображение более или менее походило бы на предыдущее. Принцип самоподобия при различном масштабировании позволил бы предугадать, что мы увидим в электронный микроскоп на следующем уровне увеличения. Вместо этого каждый взгляд в глубины множества Мандельброта приносил все новые сюрпризы. Желая применить свой термин «фрактал» к новому объекту, Мандельброт начал беспокоиться о том, что определил это понятие слишком узко[292]. При достаточном увеличении выяснилось, что система приблизительно повторяет свои же элементы – крошечные, похожие на жучков объекты, отделявшиеся от основного «тела». Однако, еще больше увеличив изображение, исследователь убеждался, что эти молекулы не во всем соответствуют друг другу – всегда появлялись новые формы, похожие на морских коньков или на вьющиеся ветви оранжерейных растений. Фактически ни один фрагмент системы точно не походил на другой при любом увеличении.

Обнаружение «плавающих» молекул сразу же повлекло за собой дополнительные трудности. Являлось ли множество Мандельброта связным, похожим на континент с выдающимися вперед полуостровами? Или оно походило на рассеянное скопление, где основной объект окружали мелкие островки? Ответ на этот вопрос был далеко не очевидным. Знания о множествах Жюлиа мало что давали, поскольку их графические образы бывают двух разных типов: одни представляют собой целые фигуры, другие смахивают на скопление пылинок. Эти мельчайшие частицы, будучи фрактальными, обладали особым свойством: они не составляли единого целого, каждая была отделена от другой зоной пустого пространства[293]. В то же время ни одна «пылинка» не выглядит обособленной; заметив одну, всегда можно найти и расположенную произвольно близко группу частиц. Разглядывая свои картины, Мандельброт постепенно понимал, что с помощью компьютерного эксперимента ему не удается ответить на основной вопрос. Его внимание сосредоточилось на частичках, «парящих» вокруг основной формы. Некоторые из них пропадали, другие, удивительно похожие, наоборот, появлялись. Казалось, они не зависели друг от друга, но, возможно, были связаны между собой линиями, столь тонкими, что решетка уже найденных точек никак не могла уловить их.

Дуади и Хаббард блестяще использовали свою новую математику, чтобы доказать, что каждая плавающая молекула на самом деле «висит» на филигранной нити, которая связывает ее с другими молекулами. В итоге получается хрупкая паутинка, ведущая от крошечных частиц к основному объекту, – «дьявольский полимер», по словам Мандельброта. Математики доказали, что в каждом сегменте – не имеет значения, где он находится и насколько он мал, – при увеличении «компьютерным микроскопом» обнаружатся новые молекулы, каждая из которых будет напоминать систему в целом и одновременно отличаться от нее. Каждая новая молекула будет обладать собственными спиралями и выступающими частями, похожими на языки пламени, и в них также неизбежно обнаружатся новые молекулы, еще меньшие, всегда подобные, но никогда – полностью идентичные, словно следующие предписанию о бесконечном разнообразии. Это можно назвать чудом миниатюризации: каждая новая деталь является вселенной, цельной и многоликой.

Фракталы Мандельброта.