Хаос. Создание новой науки

Когда Каданов занимался этим вопросом в 1960-х годах, фазовые переходы были для ученых интеллектуальной загадкой[228]. Представьте себе процесс намагничивания металлического бруска: по мере того как брусок переходит в магнитное состояние, он должен как бы определиться со своей ориентацией. Это свободный выбор, но его должна повторить каждая крошечная частица металла. Но как?

В процессе выбора атомы металла должны каким-то образом обмениваться информацией друг с другом. С точки зрения Каданова, подобный обмен информацией наиболее наглядно может быть описан на языке масштабов. В сущности, он предположил, что металл разделен на небольшие ячейки, каждая из которых сообщается со своими ближайшими соседками, причем подобное сообщение можно описать так же, как и взаимодействие любого атома с близлежащими. Отсюда вытекает полезность идеи изменения масштаба. Удобнее всего рассматривать металл как фракталоподобную модель, состоящую из ячеек различных размеров.

Теперь для полного воцарения идеи масштабирования требовались математический аппарат и детальное исследование реальных систем. Каданов чувствовал, что взялся за нелегкое дело, зато открыл мир самодостаточности и изумительной красоты, частично рожденной универсальностью природных законов. Идея Каданова стала основой для понимания самого поразительного факта о критических явлениях, а именно: поведение таких, казалось бы, не связанных друг с другом феноменов, как кипение жидкостей и намагничивание металлов, подчиняется одним и тем же правилам.

Затем Кеннет Вильсон проделал немалую работу, связавшую все экспериментальные факты воедино в рамках теории ренормализационной группы. Он обеспечил физиков эффективным методом для вычисления характеристик реальных систем. Метод перенормировки, появившийся в физике в 1940-х годах как раздел квантовой теории, сделал возможным расчеты взаимодействия электронов и протонов. Главной трудностью таких вычислений (как, впрочем, и тех, которые занимали Каданова и Вильсона) являлась необходимость воспринимать некоторые величины как бесконечные – занятие суетное и малоприятное. Понятие перенормировки, введенное Ричардом Фейнманом, Джулианом Швингером, Фрименом Дайсоном и другими физиками, позволяло освободиться от бесконечностей.

Лишь намного позже, в 1960-х годах, Вильсон докопался до причин успеха идеи перенормировки. Как и Каданов, он размышлял над принципами масштабирования. Определенные характеристики – такие, например, как масса частицы – всегда считались постоянными, как и масса любого предмета, встречающегося нам в повседневной жизни. Принцип перенормировки быстро стал популярен благодаря тому, что трактовал величины вроде массы не как постоянные. Масса и подобные ей характеристики в процессе перенормировки варьируются как в сторону уменьшения, так и в сторону увеличения в зависимости от масштаба, в котором их рассматривают. Эта идея, казавшаяся полной нелепостью, была точным аналогом рассуждений Мандельброта о геометрических формах и береговой линии Великобритании (о том, что их длину невозможно измерить вне зависимости от масштаба). Здесь присутствовала определенная доля относительности. Местоположение наблюдателя – близко ли он, далеко ли, на берегу моря или на космическом спутнике – влияло на результат. Мандельброт также заметил, что перемены, наблюдаемые при переходе от одного масштаба к другому, не произвольны, а подчиняются определенным закономерностям. Изменчивость общепринятых мер массы или длины говорила о том, что фиксированной остается некая величина иного типа. В случае с фракталами такой величиной была фрактальная размерность – инвариант, который можно рассчитать и использовать в качестве инструмента для дальнейших вычислений. Допущение, что масса может варьироваться в зависимости от масштаба, означало, что математики могут различить феномен подобия невзирая на масштаб явления.