Квантовая хромодинамика: Введение в теорию кварков и глюонов

где индекс B_j означает, что данное равенство справедливо в бьеркеновском пределе, а

_1…n

ⁿ

(p)=i

ⁿ

p|

1

(n-2)!

:

q

(0)Q

₂

^e

^₁

D

^₂

…D

^_n

q(0):|p

(18.15 б)

Величины можно записать, исходя из инвариантов, характеризующих изучаемый процесс:

_1…n

ⁿ

(p)=-ip

^₁

…p

^_n

a

_n

+ члены со свертками.

Члены со свертками по двум импульсным индексам (содержащие тензоры g_ⁱj) дают вклады, пропорциональные p², и, следовательно, здесь могут не учитываться. При этом тензор _em принимает вид

^em

(p,q)

_Bj

=

 

i(2)^3

g

^2

d

⁴

z e

^iq·z

1

(z^2-i0)^2

 

^{n четн}

(iz·p)

ⁿ

a

_n

1

n-1

+

pp

^2

d

⁴

z e

^iq·z

1

(z^2-i0)^2

 

^{n четн}

(iz·p)

ⁿ

a

_n+2

.

Сравнивая это выражение с (17.8 б), получаем

_em

¹

(x,Q^2)

_Bj

=

 

i

q²

·

(2)^3

^2

d

⁴

z e

^iq·z

1

(z^2-i0)^2

 

^{n четн}

(iz·p)

ⁿ

a_n

n-1

,

_em

²

(x,Q^2)

_Bj

=

 

i

(2)^3

^2

d

⁴

z e

^iq·z

1

(z^2-i0)^2

 

^{n четн}

(iz·p)

ⁿ

a

_n+2

.

(18.16)

Последняя формула, которая нам понадобится, имеет вид

q₁

…

q_n

=

2

ⁿ

q

ⁿ

…q

^_n

q^2

ⁿ

+ члены со свертками .

(18.17)

Используя ее для замены переменной iz^j на производную /qj в выражениях (18.16), запишем их в виде

_em

¹

(x,Q^2)

_Bj

=

 

i

q^2

·

(2)^3

^2

2ⁿa_n

n-1

q

₁

…q

_n

p

^₁

…p

^_n

q^2

ⁿ

x

d

⁴

z

e^iq·z

(z^2-i0)^2

_Bj

=

 

-(2)^3

q^2

(2)

ⁿ

a_n

n-1

q^2

ⁿ

·log q^2

=

2(2)^3

(n-2)!a_n

x^n-1

=

t(x)/x ,

(18.18 а)

_em

²

(x,Q^2)

_Bj

=

 

i

(2)^3

^2

a

_n+2

(2)

ⁿ

q^2

ⁿ

d

⁴

z

e^iq·z

z^2-i0

_Bj

=

 

-4(2)^3

(2)

ⁿ

a

_n+2

q^2

ⁿ

1

q^2

=

2(2)^3

n!a_n+2

xⁿ⁺¹

=

_em

¹

(x,Q^2)

(18.18 б)

При получении этих выражений использованы фурье-преобразования, приведенные в приложении Е, и введено обозначение

t(x)2(2)^3

 

ⁿ

n!a

_n+2

1

xⁿ

·

(18.18 в)

Взяв мнимые части этих выражений, мы приходим к бьеркеновскому скейлингу и равенству структурных функций f₁(x)=f₂(x). Последнее соотношение, которое приводит к обращению в нуль продольной структурной функции, известно как соотношение Каллана — Гросса [62] (см. также [41]). Другой вывод, из которого ясно, что величина f₂(x)/x имеет смысл вероятности обнаружить кварк с долей x полного импульса p в системе отсчета бесконечного импульса, содержится в работе [157].

§19. Применение операторного разложения к процессам глубоконеупругого рассеяния; моменты

В §18 не конкретизировалась теория поля, в рамках которой применялось операторное разложение. Предполагалось только, что это теория свободных полей. Перейдем теперь к реальной физической ситуации и учтем взаимодействие между полями.

Рассмотрим снова хронологическое произведение токов

TJ

^p

(x)

⁺

J

^p

(y) ,

(19.1)

где индекс p обозначает любой ток или комбинацию токов из тех, которые содержатся в (18.7). Но теперь мы хотим учесть взаимодействие между полями, из которых построены эти токи. По-прежнему будем пренебрегать членами, подавляемыми степенями отношения M^2/Q^2, где M — некоторая масса. Операторное разложение можно провести по базису, содержащему операторы, дающие ведущий по степеням M^2/Q^2 вклад в случае свободных полей. При этом в рамках КХД возникают лишь дополнительные логарифмические поправки. Если классифицировать операторы по твисту , определяемому соотношением =-i, где — размерность оператора, построенного из свободных полей, a j — спин оператора, то, исходя из размерного анализа, легко видеть, что ведущий вклад возникает от операторов с =2. Вклады операторов с =2n+2 подавляются в отношении (M^2/Q^2)ⁿ по сравнению с вкладами операторов с =2.

Единственными операторами с =2, которые можно связать с (19.1), являются операторы^29в)

^29в) Индексы F(V) обозначают синглетные операторы, построенные из полей фермионов (векторных бозонов).

N

_1…n

^NS,a±

=

1

2

i^n-1

(n-2)!

:

q

(0)

^a

^₁

(1±

₅

)D

^₁

…D

^_n

q(0):,

a

=

1,…,8;

N

_1…n

^F±

=

1

2

i^n-1

(n-2)!

:

q

(0)

⁰

^₂

(1±

₅

)D

^₂

…D

^_n

q(0): ;

N

_1…n

^V

=

i^n-2

(n-2)!

Tr:G

^₁a

(0)D

^₂

…D

^_n-1

G

_n

^a

(0): ,

19.2

где обозначает симметризацию, т.е. a_i1…in

=(1/n!)_{по перестановкам} a_(i1,…,in) взятие следа производится по цветовым индексам, а ковариантная производная D определяется по формуле

D

G

_a

 

^c

^ac

+g

f

^abc

B

_b

G

_c

.

С первыми двумя типами операторов (19.2) мы уже встречались (см. (18.14)). При этом оператор N^е определялся в виде суммы N^е=N⁺+N^-. Очевидно, что ненулевые проекции кварковых токов на чисто глюонные операторы можно прочить только в том случае, если учесть взаимодействие между глюонами и кварками. Именно поэтому теперь возник оператор N_V в (19.2).

Если мы работаем в калибровке, требующей введения духов, то кроме операторов (19.2) необходимо учитывать также операторы, составленные из полей духов. Но можно доказать, что благодаря треугольному виду матрицы смешивания (см.г например, [97, 183]) при рассмотрении операторов с =2 духами можно полностью пренебречь. К этому вопросу мы вернемся несколько ниже. Запишем операторное разложение выражения (19.1) в виде

TJ

^p

(z)+J

^p

=-

 

^j,n

C

_n

^1pj

(z^2)g

i

^n-1

z

₁

…z

_n

N

_1…n

^j

(0)

-

 

^j,n

C

_n

^2pj

(z^2)i

^n-1

z

₁

…z

_n

N

_1…n

^j

(0)

+

 

^j,n

C

_n

^2pj

(z^2)

i

^n-2

z

z

₁

…z

_n

N

_1…n

^j

(0),

(19.3)