Квантовая хромодинамика: Введение в теорию кварков и глюонов

где аномальная размерность d(n) определяется формулой

d(n)

= -

₍₀₎

^NS

(0)/2

₀

.

(20.6 а)

Коэффициенты Cⁿ_2NS(1,0) равны просто вильсоновским коэффициентам, полученным в § 18 для случая свободных полей. Неизвестные константы Aⁿ и ^2 можно исключить, нормируя на заданное значение Q^2₀ , достаточно большое, чтобы константа связи _s(Q^2₀) была малой и было оправданно применение теории возмущений. В результате получаем уравнения КХД, описывающие в ведущем порядке теории возмущений зависимость моментов от переменной Q^2 . Опуская некоторые индексы, находим решения этих уравнений: для несинглетного случая

_NS

(n,Q^2)

=

_s(Q

₂

⁰ )

_s(Q

₂

  )

^d(n)

_NS

(n,Q

₂

⁰

)

(20.6 б)

и для синглетного случая

(n,Q^2)

=

_s(Q

₂

⁰ )

_s(Q

₂

  )

^D(n)

(n,Q

₂

⁰

);

D(n)

=

-

⁽⁰⁾

(n)/2

₀

.

(20.7)

Рис. 14. Диаграммы, используемые при вычислении коэффициента Z^NS_n.

Остается лишь вычислить аномальные размерности (0)NS и (0)(n) . Сначала нужно вывести фейнмановские правила диаграммной техники для операторов N. Они получаются прямым вычислением (см. § 42) и приведены в приложении Д. Затем надо вычислить перенормировочные константы для операторов N. Результат для синглетного случая можно найти в работе [162]. Здесь мы рассмотрим вычисление величин N1…nNS , которым соответствуют диаграммы рис. 14. В фейнмановской калибровке диаграмма рис. 14, а дает

V

_Aij

=i

⁵

g^2

d

^D

k

k(·k)^n-1k(-g)

k⁴(k-p)^2

 

^a,l

t

_a

^il

t

_a

^lj

.

Для того чтобы вычислить перенормировочный множитель Z , достаточно знать расходящуюся часть коэффициента при величине (·p)^n-1 . Будем использовать обозначение a^eff₌b , которое означает, что величины а и b имеют одинаковые расходящиеся части. После стандартных выкладок получаем

V

_Aij

=

ig^2C

_F

_ij

¹

 

₀

dx(1-x)

x

d

^D

l

-2(l+xp)(l+xp)[·(l+xp]^n-1

(l^2+x(1-x)p^2)^3

.

Расходящаяся часть члена, пропорционального величине (·p)^n-1 легко выделяется и имеет вид

V

_Aij

_eff

=

 

ig^2

_ij

C

_F

₁

 

⁰

dx(1-x)

d^Dl

[l^2+x(1-x)p^2]^3

x

-

2l^2

D

x

^n-1

(

·p)

^p-1

=

g^2

16^2

N

C

_F

2

n(n+1)

(

·p)

^n-1

_ij

.

(20.8)

Вклад диаграммы рис. 14, б описывается выражением

V

_Bij

=

-i^3g^2C

_F

_ij

x

d

^D

k

{

_n-2

^l=0 (·p)^l[·(p+k)]^n-l-2(p+k)

k^2(k+p)^2 

.

Здесь также необходимо найти коэффициент при величине (·p)^n-1. Повторяя ту же процедуру, получаем

V

_Bij

_eff

=

 

2ig^2C

_F

_ij

¹

 

₀

dx

d

^D

q

_n-2

^l=0 (·p)^l[·q+x·p]^n-1-l

(q^2+x(1-x)p^2)^2

_eff

=

 

-2

g^2N

16^2

C

_F

_ij

(

·p)

^n-1

¹

 

₀

dx

_n-1

^l=1

x

^l

=

g^2

16^2

N

C

_F

_ij

-2

_n

^l=2

1

l

(

·p)

^n-1

.

(20.9)

Диаграмма рис. 14, в приводит к ответу, совпадающему с результатом (20.9) для диаграммы рис. 14, б. Диаграмма рис. 14, г приводит к результатам, эквивалентным перенормировочному коэффициенту Z_F . Чтобы вычислить тетерь аномальные размерности y _NS , необходимо добавить вклады от контрчленов, обеспечивающие конечность выражения Z_nZ^-1_FN . Таким образом, используя значение перенормировочного множителя Z_F , вычисленное в § 9, находим

Z

_NS

ⁿ

=1+

g^2N

16^2

C

_F

4S

₁

(1)-3-

2

n(n+1)

,

(20.10)

S

₁

(n)=

_n

^j=1

1

j

,

(20.11)

откуда получаем

₍₀₎

^NS

(n)=

2C

_F

4S

₁

(1)-3-

2

n(n+1)

,

(20.12)

d(n)=

1

33-2n_f

1

2n(n+1)

+

3

4

-S

₁

(n)

.

(20.13)

Для синглетного случая аналогичным способом можно получить ответ, записываемый в матричном виде:

D

_n

=

16

33-2n_f

x

33-2n_f

16

d(n)

3n_f

8

·

n^2+n+2

n(n+1)(n+2)

n^2+n+2

2n(n^2-1)

33-2nf

16

+

9

4

1

n(n-1)

+

1

(n+1)(n+2)

-S

₁

(n)

.

(20.14)

Выражения для величины S₁(n) можно аналитически продолжить на случай комплексных значений переменной n . Согласно теореме Карлсона (см., например, [246]), существует единственное продолжение, для которого остаются справедливыми уравнения (19.19), (20,3), (20.6) и (20.7) для комплексных значений n. Оно имеет вид

S

₁

(n)=n

^k=1

1

k(k+n)

.

(20.15 а)

Отметим, что с определенным таким образом аналитическим продолжением на случай комплексных значений переменной n (которое совпадает g выражением (20.11) для целочисленных значений n) величину S₁(n) можно представить в виде

S

₁

(n)

=

(n+1)+

_E

,

(z)

d log(z)

dz

.

(20.15 б)

В рассматриваемом порядке теории возмущений аналитические продолжения функции ⁽⁰⁾(n) на область комплексных значений переменной n, начинающиеся с четных или нечетных значений n, совпадают. Поэтому никаких проблем, связанных с четностью или нечетностью структурных функций либо со справедливостью исходных уравнений при четных или нечетных значениях переменной n, не возникает.

§21. Уравнения КХД для моментов во втором порядке теории возмущений

В § 20 мы вывели уравнения КХД для моментов в ведущем порядке теории возмущений. Обратимся теперь к поправкам второго порядка.

Как видно из уравнений (20.2) и (20.4), для того чтобы вычислить поправки второго порядка, необходимо рассмотреть два различных эффекта³³⁾. Это, во-первых, эффект, связанный с учетом аномальных размерностей ⁽¹⁾_NS(n) и ⁽¹⁾(n) втором порядке теории возмущений. Во-вторых, необходимо вычислить следующий член разложения вильсоновских коэффициентов: