Квантовая хромодинамика: Введение в теорию кварков и глюонов

Как будет показано ниже, асимптотическая свобода КХД позволяет вычислить вильсоновские коэффициенты C, входящие в выражение (19.16). Но в общем случае коэффициенты A представляют собой неизвестные константы. Чтобы получить из выражения (19.16) физическую информацию, необходимо иметь возможность выделять вклады отдельных слагаемых в этом выражении. Этого можно добиться, используя известные аналитические свойства величины T и записав дисперсионное соотношение ³²⁾ для T₂ по переменной при фиксированном значении Q^2:

³² В принципе при записи дисперсионных соотношений необходимо вычесть содержащиеся в них расходимости. Однако, как легко видеть, при условии сходимости выражения (19.19) это требование не вносит каких-либо изменений в изложенную здесь схему. О дисперсионных соотношениях см., например, в книге [104].

T

_2NS

(x,Q^2;g,)

=

1

 

_Q^2/2

d'

'-

ImT

_2NS

Q^2

2'

,Q^2;g,

-

_Q^2/2

 

_-

d'

'-

ImT

_2NS

Q^2

2'

,Q^2;g,

.

(19.17)

Это соотношение можно связать с физическими структурными функциями только в том случае, если оно обладает определенной четностью по отношению к замене q->-q, т.е. является либо четной, либо нечетной функцией переменной q. Таким поведением величина ₂ обладает, например, в процессах электророждения. В этом случае она является четной функцией переменной x , т.е. ₂(x,…)=₂(-x,…). Производя замену переменных '->x'=Q^2/2' , перепишем соотношение (19.17) в виде

T

_2NS

(x,Q^2;g,)

=

1

¹

 

₀

dx'

x'(1-x'^2/x^2)

Im

_2NS

(x',Q^2;g,) .

Разложив в ряд по степеням x'/x , получим [77]

T

_2NS

(x,Q^2;g,)

=2

 

ⁿ

1

xⁿ

_2NS

(n+1,Q^2;g,),

(19.18)

где моменты _2NS определены соотношениями

_2NS

(x,Q^2;g,^2)=

¹

 

₀

dx'x'

^n-2

f

_2NS

(x',Q^2;g,) ,

(19.19)

сравнивая которые с (19.16), сразу получаем выражение для моментов

_2NS

(x,Q^2;g,^2)=A

_n

^NS

C

_n

^2NS

(Q^2/^2,g^2/4) .

(19.20)

Следует помнить, что выражения (19.19) и (19.20) получены в предположении четности функции ; в противном случае интеграл ⁰₁dx' нельзя заменить интегралом ¹₀dx' . Следовательно, выражения (19.19*) и (19.20) справедливы только для четных значений n, если функция четная (как это имеет место в случае электророждения), или для нечетных значений n, если функция нечетная (как, например, функция ₃ в формулах, описывающих процессы рассеяния нейтрино). Соответствующие выражения для других значений n приходится получать методом аналитического продолжения (Редже — Карлсона). Эта процедура тривиальна, если ограничиться вычислениями только ведущих вкладов (см. § 20), но содержит ряд тонкостей при проведении вычислений во втором порядке теории возмущений. Еще одна особенность заключается в том, что, как уже отмечалось выше, приходится ограничиваться такими значениями n, при которых выражение (19.19) сходится. Исходя из теории Редже, можно ожидать, что такая сходимость имеет место по крайней мере при Re n>=1 для несинглетных величин и при Re n>=2 для синглетных величин (см. также § 23, п. 2).

§ 20. Ренормгрупповой анализ; уравнения КХД для моментов

Запишем ренормгрупповые уравнения для моментов. Так как моменты выражаются в виде интегралов от структурных функций, то они представляют собой физически наблюдаемые величины и, следовательно, не зависят от выбора точки нормировки. Из уравнений (19.6), (19.11) и (19.20) следует, что перенормировочная константа для вильсоновского коэффициента C точно равна обратной величине перенормировочной константы для операторов N_R . Таким образом, мы получаем уравнение Каллана — Симанзика

+

(g)g

g

-

_NS

(g,n)

C

_n

^2NS

(Q^2/^2,g^2/4)=0 ,

(20.1)

решение которого имеет вид

C

_n

^2NS

(Q^2/^2,g^2/4)

=

=

e

^{-t₀ d log(Q'/)_NS(g(Q'^2),n)}

C

_n

^2NS

(1,

_s

(Q^2)) ,

t

=

1/2 log Q^2/^2 .

(20.2)

Для синглетных операторов имеются некоторые дополнительные усложнения, обусловленные тем, что возникает система связанных уравнений. Необходимо ввести дополнительную структурную функцию f_V(x,Q^2) , физический смысл которой состоит в том, что она описывает распределение глюонов в нуклоне. Используя векторные обозначения

f=

f_F

f_V

,

C

ⁿ

=

C

_n

^F

C

_n

^V

,

₂

(n,Q^2)=

¹

 

₀

dx x

^n-2

f

₂

(x,Q^2) ,

(20.3)

аналог выражения (20.2) для синглетного случая можно записать в виде

C

_n

²

(Q^2/^2,g^2/4)

=

=

e

^{-t₀ d log(Q'/)(g(Q'^2),n)}

C

_n

²

(1,

_s

(Q^2)) ,

(20.4)

Здесь оператор формально совпадает с оператором упорядочения по времени, за исключением того, что он действует на переменную t= 1/2 log Q^2/^2 . (Подробное изложение см. в работах [157, 162].) Асимптотическая свобода КХД позволяет использовать теорию возмущений и из уравнений (20.2) и (20.4) вычислить вильсоновские коэффициенты. Но так как величины Aⁿ пока неизвестны, можно рассчитать лишь характер зависимости моментов от переменной Q^2 . Чтобы убедиться в этом, рассмотрим уравнение (20.2) в низшем порядке теории возмущений. Решение этого уравнения имеет вид

C

_n

^2NS

(Q^2/^2,g^2/4)

=

C

_n

^2NS

(1,0)

log Q^2/^2

log ^2/^2

^d(n)

,

(20.5)