Квантовая хромодинамика: Введение в теорию кварков и глюонов

где индекс i относится к тем операторам из (19.2), которые имеют квантовые числа, совпадающие с квантовыми числами исходного произведения J⁺_pJ_p. Здесь следует отметить, что взаимодействия КХД не нарушают симметрии по ароматам кварков и, следовательно, все вычисления с матрицами действующими в пространстве ароматов, можно проводить так же, как в случае свободных полей. Например, для хронологического произведения двух электромагнитных токов выражение (19.3) принимает вид

iTJ

^em

(z)J

^em

(0) =

=

g

 

n четн

C

_n

^1NS

(z^2)

1

6

N

_1…n

^NS,3

(0)+

1

63

N

_1…n

^NS,8

(0)

+

2

9

C

_n

^1F

(z^2)N

_1…n

^F

(0)

i

ⁿ

z

₁

…z

_n

+

 

n четн

C

_n

^2NS

(z^2)

1

6

N

_1…n

^NS,3

(0)+

1

63

N

_1…n

^NS,8

(0)

+

2

9

C

_n

^2F

(z^2)N

_1…n

^F

(0)

i

ⁿ

z

₁

…z

_n

+

g

 

n четн

C

_n

^1V

(z^2)

2

9

N

_1…n

^V

(0)

+

 

n четн

C

_n

^2V

(z^2)

2

9

N

_1…n

^V

(0)

i

^n-1

z

₁

…z

_n

.

(19.4)

Здесь использованы симметризованные выражения для операторов N. Это допустимо в данном случае, так как необходимы только диагональные матричные элементы, а членами порядка m^2_N/Q^2 пренебрегают (ср. с (18.156), (18.15в)). Выражения (19.3) и (19.4) записаны довольно схематично. При учете кварк-глюонных взаимодействий операторы, входящие в (19.3) и (19.4), подвергаются перенормировке. Помимо прочих эффектов это приводит к двум весьма важным следствиям. Во-первых поскольку операторы N_F и N_V обладают одинаковыми квантовыми числами (они являются синглетами по группе аромата), выражения для перенормированных операторов N_F и N_V представляют собой комбинации, содержащие неперенормированные операторы обоих типов. Этого не происходит для операторов N_NS, которые при проведении процедуры перенормировок оказываются выраженными через себя же. Во-вторых, после перенормировки появляется зависимость коэффициентов C и операторов N от размерного параметра, который мы временно обозначим буквой , чтобы не путать его с бьеркеновской переменной =p·q.

Токи J, имеющие вид

J

(x)=aV

(x)+bA

(x)

(19.5)

не требуют проведения специальной перенормировки, так как операторы V и A являются сохраняющимися или квазисохраняющимися (см. § 13). Но операторы N и вильсоновские коэффициенты разложения C требуют перенормировки, за исключением некоторых особых случаев.

Перенормировка несинглетных операторов, выражающихся при этом через самих себя, сводится к добавлению перенормировочного множителя³¹⁾:

³¹ Заметим, что, так же как в § 13, кварковые и глюонные поля, входящие в операторы N_NS и N, предполагаются перенормированными.

N

_1…n

^NS,a±R

=Z

_a±

^n-2

N

_1…n

^NS,a±

(19.6 а)

В действительности множитель Z не зависит от a±.

Для синглетных операторов результат проведения перенормировочной процедуры записывается в матричном виде:

N

_1…n

^R

=Z

_n-2

N

^₁…_n

(19.6 б)

Здесь введены вектор

N

=

N_F

N_V

,

(19.6 в)

и матрица

Z=

Z_FF Z_FV

Z_VF Z_VV

.

(19.6 г)

Аномальные размерности и матрицы аномальной размерности для операторов N определены выражениями

_NS

(n,g)

=

-(Z

_n

)

^-1

Z

_n

,

(n,g)

=

-(Z

_n

)

^-1

Z

_n

,

(19.7)

которые можно разложить в ряды по степеням константы связи:

_NS

(n,g)

=

^k=0

_(k)

^NS

(n)

g^2

16^2

^k+1

,

(n,g)

=

^k=0

^(k)

(n)

g^2

16^2

^k+1

,

(19.8)

Мы вернемся к этому вопросу несколько ниже, а сейчас обратимся к формальному аппарату теории. Рассмотрим импульсное пространство, в котором запишем слагаемые, фигурирующие в операторном разложении и дающие ненулевой вклад в несинглетную часть структурной функции f₂ (т.е. в часть структурной функции f₂ , содержащую несинглетные операторы). Выбирая соответствующие слагаемые в выражении (19.3), получаем

i

d

⁴

z e

^iq·z

TJ

(z)J

(0)

^NS

_pp

=

 

ⁿ

d

⁴

z e

^iq·z

C

_n

^2NS

(z^2)i

ⁿ

z

₁

…z

_n

N

_1…n

^NS

(0).

(19.9)

Если взять матричный элемент, фигурирующий в формулах для процессов глубоконеупругого рассеяния (например, в (17.8а)), то получим

pp

T

_2NS

=

(2)^3

 

ⁿ

d

⁴

z e

^iq·z

C

_n

^2NS

(z^2)i

ⁿ

z

₁

…z

_n

x

p|N

_1…1

^NS

(0)|p

(19.10)

С точностью до членов, содержащих свертки, матричный элемент p|N_NS|p можно записать в виде

ip|N

_1…1

^NS

(0)|p=p

p

p

^₁

…p

^_n

A

_n

^NS

(19.11)

и произвести следующую замену:

z

₁

…z

_n

->

(-i)

ⁿ

q₁

…

q_n

=(-2i)

ⁿ

q

₁

…q

_n

q^2

ⁿ

+

члены, содержащие свертки.

(19.12)

Таким образом, выражение (19.10) принимает вид

T

_2NS

(x,Q^2;g,)

=

(2)^3

 

^{n четн}

2

ⁿ

A

_n

^NS

q^2

ⁿ

d

⁴

z e

^iq·z

1

i

C

_n

^2NS

(z^2)(q·p)

ⁿ

=

1

2

(2)^3

 

^{n четн}

(2)

ⁿ⁺¹

A

_n

^NS

q^2

ⁿ

d

⁴

z e

^iq·z

1

i

C

_n

^2NS

(z^2)

(19.13)

Известно, что в случае свободных полей коэффициенты Cⁿ_2NS(z^2) обладают следующим поведением (см. § 18):

i

C

_n

^2NS

(z^2)

_g=0

 

=

^{z^2->0}

1

^2(z^2-i0)

.

(19.14)

Поэтому в импульсном пространстве введем новые коэффициенты

C

_n

^2NS

(Q^2/^2,g^2/4)

4(Q^2)

ⁿ⁺¹

q^2

ⁿ

d

⁴

z e

^iq·z

1

i

C

_n

^2NS

(z^2).

(19.15)

В результате получим следующее окончательное выражение:

T

_2NS

(x,Q^2;g,)

=

2

1

xⁿ⁺¹

A

_n

^NS

C

_n

^2NS

(Q^2/^2,g^2/4);

A

(2)^3

A

.

(19.16)