Квантовая хромодинамика: Введение в теорию кварков и глюонов

³³Конечно, помимо использования выражения для константы связи _s(Q^2) во втором порядке теории возмущений (§ 14) и учета конечных частей диаграмм первого порядка.

C

_n

^NS

(1,

_s

(Q^2))=C

_n

^NS

(1,0)

1+C

_n(1)

^NS

(1,0)

(Q^2)

4

+…

.

(21.1)

Вычисление аномальных размерностей для несинглетных операторов N_NS было выполнено в работе [125], а для синглетных - в работе [126]. Полученные результаты сформулированы в более простом аналитическом виде для несинглетных операторов в статье [150] и для синглетных — в статье [151]. Недавно они были проверены [84, 131], и лишь для коэффициента при аномальной размерности ⁽¹⁾_VV(n) было найдено выражение, отличающееся от полученного ранее³⁴⁾. Пусть величины ^(1)±_NS(n) относятся к четным (нечетным) структурным функциям. Тогда имеем

³⁴⁾ Результаты работы [131] недавно были проверены независимым образом.

_(1)±

^NS

(n)

=

32

9

S

₁

(n)

67+8

2n+1

n^2(n+1)^2

-64S

₁

(n)S

₂

(n)

-

32

9

[S

₂

-S

_±

^2

(n/2)]

2S

₁

(n)-

1

n(n+1)

-

128

9

S

^±

(n)+

32

3

S

₂

(n)

3

n(n+1)

-7

16

9

S

_±

^3

n

2

-

28-16

151⁴+260n^3+96n^2+3n+10

9n^3(n+1)^3

±

32

9

·

2n^2+2n+1

n^3(n+1)^3

+

32n_f

27

x

6S

₂

(n)-10S

₁

(n)+

3

4

+

11n^2+5n-3

n^2(n+1)^2

,

(21.2 а)

S

₊

_l

(x/2)

=

S

_l

(x/2)

,

S

_-

_l

(x/2)

=

S

_l

x-1

2

,

S

^±

(x)

=

-

5

8

(3)±

^k=1

(-1)^k

(k+x)^2

S

₁

(k+x)

.

(21.2 б)

Сводку формул для величин ⁽¹⁾_ij можно найти в работе [194], где для аномальной размерности ⁽¹⁾_VV принят результат, полученный в работе [131].

Обратимся теперь к вильсоновским коэффициентам. Поскольку они представляют собой константы, их можно вычислить, взяв матричные элементы от хронологического произведения TJJ между произвольными состояниями. Эту свободу в выборе состояний можно использовать, чтобы максимально упростить вычисления. Естественно, удобно выбрать кварковые и глюонные состояния. Следует помнить, что в отличие от аномальных размерностей вильсоновские коэффициенты зависят от рассматриваемого процесса и структурной функции. Сводку значений³⁵⁾ коэффициентов Cⁿ⁽¹⁾_NS(1,0) и Cⁿ⁽¹⁾(1,0) можно найти в работах [27, 55]. Здесь мы приведем пример вычисления продрльной структурной функции.

³⁵⁾ Некоторые из коэффициентов C были вычислены ранее в работах [1, 13, 63,90, 126, 168,181,164, 271, 279] и др. Значения, приведенные в работах [27, 55], проверены по крайней мере двумя независимыми вычислениями.

В ведущем порядке теории возмущений структурные функции f₁ и f₂ равны, и, следовательно, продольная структурная функция f_L равна нулю. Для случая свободных полей это показано в § 18. Но так как поправки ведущего порядка сводятся просто к умножению коэффициентов Cⁿ_L(1,0) на множитель (log Q^2/^2)⁽ⁿ⁾, где =d или =D, все моменты от продольной структурной функции f_L , как и утверждалось, в этом порядке равны нулю. Это означает, что для продольной структурной функции формула (21.1) принимает вид

C

_n

^L

(1,

_s

)

=

C

_n(1)

^L

(1,0)

_s

4

+… .

(21.3)

Это выражение определяет степень пертурбативного нарушения соотношения Каллана — Гросса. Его удобно представить в виде произведения двух сомножителей

C

_n(1)

^PL

(1,0)

=

_P

B

_n(1)

^L

,

(21.4)

один из которых зависит от рассматриваемого процесса, а другой не зависит. При этом множители _P имеют вид

_PNS

=

1

6

, для f

_eN

^2

1

, для f

_±I

^2

_PF

=

5

18

, для f

_eN

^2F

1

, для f

_±I

^2

(21.5)

Рис. 15. Диаграмма, дающая вклад в несинглетную часть продольной структурной функции f_L

Рис. 16. Диаграмма, дающая вклад в синглетную часть продольной структурной функции f_L

где индекс N принимает значения N=p (протон) или n (нейтрон), а индекс / обозначает "изоскалярный" нуклон. Рассмотрим теперь продольную структурную функцию f^NS_L . Выражение для продольной структурной функции получается в результате вычисления диаграмм рис. 15, так как все другие диаграммы дают либо одинаковые вклады, которые сокращаются при вычислении разности f₁-f₂ , либо вклады только в синглетную часть³⁶⁾. Более того, поскольку разложение продольной структурной функции f_L начинается с членов первого порядка по константе связи _s , нет необходимости рассматривать вклад от перенормировочных множителей операторов N , которые в данном случае приводят к поправкам порядка O(^2_s) . Вычисления можно еще более упростить, заметив, что если в выражении для тензора сохранить члены, пропорциональные компонентам импульса q и q , то продольная структурная функция будет единственной инвариантной амплитудой, пропорциональной произведению qq . Например, в случае векторных токов имеем

³⁶⁾ При вычислении синглетной части следует учитывать также диаграммы рис. 16.

=

(g

-q

q

/q^2)T

_L

+

g

-p

p

q^2

+

pq+pp

₂

,

f

_L

=

1

2

Im

_L

.

(21.6)

В общем случае вычисления следует проводить для импульсов p^20, чтобы можно было контролировать инфракрасные расходимости. Но это условие не является необходимым при расчете f_L , которая в рассматриваемом порядке теории возмущений остается конечной в пределе p^2->0 .

Амплитуда, соответствующая диаграмме рис. 15, имеет вид

i

2

(2)^3

 

d

⁴

z e

^iq·z

p,|J

(z)J

(0)|p,

=

'

^ij

=-

d

C

_F

_ij

g^2

1

4

 

u

(p,)

x

d

^D

k

(p+k)(p+k+q)(p+k)

(p+k)⁴(p+k+q)^2k^2

u(p,)

+

"кросс"-член.

Используя соотношение

 

u

(p,)Mu(p,)=Tr(

p

M) ,