Квантовая хромодинамика: Введение в теорию кварков и глюонов

Из этого выражения видно, что при изменении импульсов в λ раз функция Грина Γ_R не умножается просто на величину λ^ρΓ как этого следовало ожидать из размерного анализа, а приобретает дополнительный множитель (экспоненту, стоящую в правой части (12.7)). Именно поэтому величину γ_Γ обычно называют аномальной размерностью функции Грина Γ_R. С этой точки зрения ренормализационную группу можно интерпретировать как способ обеспечения масштабной инвариантности в квантовой теории калибровочных полей²¹⁾. Масштабная инвариантность таких теорий нетривиальна ввиду бесконечного характера проводимых перенормировок, в ходе которых вводится внешний по отношению к задаче масштаб масс.

²¹⁾ Такой подход к вопросу о ренормализационной группе развит в работах [60, 74].

Следует отметить, что выражение (12.7) справедливо всегда безотносительно к теории возмущений; однако на практике для получения реальных результатов необходимо использовать теорию возмущений.

§ 13. Перенормировка составных операторов

Для изучения структуры адронов используют внешние электромагнитные и слабые токи, поэтому необходимо рассмотреть не только функции Грина, но и матричные элементы различных составных операторов. Эти операторы можно разбить на две группы: сохраняющихся или частично сохраняющихся операторов и несохраняющихся операторов.

Сохраняющимся является, например, оператор электромагнитного тока J^μ_em=∑Q_qV^μ_q, где проводится суммирование по всем ароматам кварков, а операторы V^μ_q имеют следующий вид:

V

_μ

^q

(x)=:

q

(x)γ

^μ

q(x): ;

и во всех порядках теории возмущений удовлетворяют условиям сохранения

∂

 

V

_μ

(x)=0 .

^μ

^q

(13.1 а)

В качестве примера частично сохраняющегося тока можно привести слабый аксиальный ток

A

_μ

^qq'

(x)=:

q

(x)γ

^μ

γ

₅

q'(x): .

Используя уравнения движения (3.6), легко убедиться, что аксиальный ток удовлетворяет соотношениям

∂

_μ

A

_μ

^qq'

(x)=i(m

_q

+m

_q'

)J

₅

^qq'

(x) , J

₅

^qq'

(x)=:

q

(x)γ

₅

q'(x): ,

(13.1 б)

из которых видно, что в пределе больших энергий, когда можно пренебречь массами кварков, он является сохраняющимся.

Вообще говоря, матричные элементы любого составного оператора представляют собой расходящиеся величины. Но если учесть контрчлены, входящие в лагранжиан КХД, то матричные элементы сохраняющихся и частично сохраняющихся токов оказываются конечными ^21a). Физически это очевидно, формальное же доказательство этого утверждения будет приведено ниже.

^21a) Отметим, что мы работаем в низшем порядке теории возмущений по слабому и электромагнитному взаимодействиям. В противном случае возникает необходимость включения в формулы слабых и электромагнитных перенормировочных множителей Z^ω_F, Z^em_F и т.д.

Несохраняющиеся операторы, как правило, требуют проведения перенормировки. Чтобы убедиться в этом, рассмотрим в качестве простого примера оператор Σ_i:qⁱ(x)qⁱ(x)≡M(x). Как уже обсуждалось в § 8 и 9, можно работать либо с неперенормированной величиной q_uq_u и проводить вычисления, учитывая контрчлены, либо использовать перенормированную величину Z^-1_Fq_uq_u , проводя подстановки g→g_u=Z_gg для константы связи и m→m_u=Z_mm для массы и пренебрегая контрчленами. Тем не менее, вообще говоря, этого оказывается недостаточно, чтобы величина M была конечной. Для того чтобы получить конечные выражения для матричных элементов оператора M, необходимо умножить его на дополнительный множитель Z_M, называемый перенормировочным множителем оператора:

M

_R

(x)=Z

_M

M(x) .

(13.2)

Чтобы доказать это утверждение, используем формулы § 3. При этом поля, отмеченные верхним или нижним индексом 0, являются свободными, например q₀≡q⁰_u или B₀≡B⁰_u. В терминах свободных полей оператор M_R записывается в виде

M

_R

(x)=Z

_M

T:

q

₀

(x)q

₀

(x):

exp i

∫

d

⁴

zℒ

₀

_int

(z) .

В низшем порядке теории возмущений по константе связи g это выражение принимает вид

M

_R

(x)

=

Z

 

^M

Z

_-1

^F

:

q

₀

(x)q

₀

(x):

=

-

g

²

2!

Z

_M

∑∫

d

⁴

z

₁

d

⁴

z

₂

T

:

q

₀

(x)q

₀

(x):

:

q

₀

(z

₁

)t

^a

γ

_μ

q

₀

(z

₁

):

×

q

₀

(z

₂

)t

^b

γ

_ν

q

₀

(z

₂

):

B

_μ

^0a

(z

₁

)

B

_ν

^0b

(z

₂

) .

(13.3)

Поскольку перенормировочный множитель оператора имеет вид Z_M=1+O(g²), множителем Z_M во втором слагаемом правой части (13.3) можно пренебречь. Рассмотрим далее расходящиеся матричные элементы, а именно матричные элементы M_R по кварковым состояниям с равным импульсом p; нетрудно видеть, что характер расходимости в рассматриваемом примере одинаков как для диагональных, так и для недиагональных матричных элементов. Обозначим диагональные матричные элементы операторов M и M_R соответственно через ⟨M⟩_p и ⟨M_R⟩_p. Тогда в калибровке Ферми-Фейнмана после простых вычислений из выражения (13.3) для этих матричных элементов получим

⟨M

_R

⟩

_p

=

Z

 

^M

Z

_-1

^F

⟨M

₀

⟩

_p

+

i⟨M

₀

⟩

_p

⎧

⎨

⎩

g

²

C

_F

∫

d

^D

k̂

-γ

^μ

(

p

+

k

)(

p

+

k

)γ

_μ

k

²

(p+k)

⁴

+S

_u

(p)+S

_u

(p)

⎫

⎬

⎭

.

(13.4)

где

M

₀

≡

:

q

₀

q

₀

: .

Рис. 9. Перенормировка оператора qq.