Квантовая хромодинамика: Введение в теорию кварков и глюонов

Очевидно, что лагранжиан инвариантен по отношению к преобразованиям из группы Пуанкаре x→Λx+a. Токи, соответствующие лоренцевым преобразованиям Λ (являющимся генераторами полного спина системы), для нас не представляют большого интереса. Согласно теореме Нётер, инвариантность лагранжиана относительно пространственно-временных сдвигов приводит к следующему выражению для тензора энергии-импульса:

Θ

^μν

=

 

∑

ⁱ

∂ℒ

∂(∂

_μ

Φ

_i

)

∂

^ν

Φ

_i

-g

^μν

ℒ ,

(10.1)

где суммирование по i проводится по всем полям, фигурирующим в лагранжиане КХД. Из тензора энергии-импульса можно построить токи, удовлетворяющие условию сохранения

∂_νΘ^μν = 0,

и соответствующие этим токам сохраняющиеся "заряды", представляющие собой компоненты 4-импульса

P

^μ

 

=

∫

d

^⃗

xΘ

^0μ

(x)

 

.

Явное выражение для тензора энергии-импульса в квантовой хромодинамике имеет вид^17a)

^17a) При квантовании теории произведение классических полей следует заменить на нормально упорядоченное произведение. Обсуждение вопроса о неоднозначности определения тензора энергии-импульса см. в работах [60, 74].

Тензор энергии-импульса определяется неоднозначно. В действительности из выражения (10.1) калибровочно-инвариантного выражения для тензора энергии-импульса получить не удается. Выражение же (10.2) возникает при замене обычных производных на ковариантные. Или, иначе, калибровочно-инвариантное выражение для тензора энергии-импульса можно получить из выражения (10.1), производя калибровочные преобразования одновременно с пространственно-временными трансляциями x^μ→x^μ+ε^μ. Например, если записать преобразование трансляции для глюонного поля B в виде B^μ_a→B^μ_a + (ε_α∂^αB^μ_a ≡ D^με_αB^α_a + ε_αG^αμ_a), то первое слагаемое в скобках можно устранить калибровочным преобразованием, так что мы получим B^μ_a→B^μ_a + G^αμ_a .

Θ

^μν

=

i

 

∑

^q

q

γ

^μ

D

^ν

q - g

^μν

i

 

∑

^q

q

D

q + g

^μν

 

∑

^q

m

_q

q

q

-

g

_αβ

G

^μα

G

^νβ

+ ¼g

^μνG2

+

члены, фиксирующие калибровку + вклад ду́хов.

(10.2)

Далее, существуют токи и заряды, связанные с вращениями в цветовом пространстве. Вывод формул для сохраняющихся токов, отвечающих глобальной внутренней симметрии лагранжиана КХД, мы оставляем читателю в качестве упражнения. Этот вывод представляет собой частный случай цветовых калибровочных преобразований (с постоянными калибровочными параметрами) и приводит к набору токов, не связанных с взаимодействием кварков и глюонов.

Если массы всех кварков равны нулю, то лагранжиан ℒ инвариантен относительно преобразований вида

q

_ƒ

→

_nƒ

∑

^f'=1

U

_ƒƒ'

q

_ƒ'

,

q

_ƒ

→

_nƒ

∑

^f'=1

V

_ƒƒ'

γ

₅

q

_ƒ'

(10.3)

при условии, что матрицы U и V представляют собой унитарные матрицы размерности n_ƒ×n_ƒ. Отсюда следует, что токи

V

_μ

^qq'

(x)=q̅(x)γ

^μ

q'(x) ,

A

_μ

^qq'

(x)=q̅(x)γ

^μ

γ

₅

q'(x)

(10.4)

сохраняются каждый в отдельности. Если теперь в лагранжиане ℒ учесть массовые члены, то сохраняется только диагональный ток V^μ_qq; остальные токи при этом являются квазисохраняющимися, т.е. их дивергенции пропорциональны массам кварков. Вычисление дивергенций этих токов не представляет большой сложности; поскольку преобразования (10.3) коммутируют с членами лагранжиана ℒ, описывающими взаимодействие кварков и глюонов, вычисления можно проводить в терминах свободных полей. В этом случае использование уравнения Дирака idq=m_qq приводит к следующим выражениям:

∂

_μ

V

_μ

^qq'

=i(m

_q

-m

_q'

)

q

q' ;

∂

_μ

A

_μ

^qq'

=i(m

_q

-m

_q'

)

q

γ

₅

q' .

(10.5)

Однако имеется одна тонкость, касающаяся расходимости аксиальных токов. Выражение (10.5) справедливо в случае недиагональных переходов (q≠q'); если же начальный и конечный кварки совпадают (q=q' ), то его следует заменить следующим выражением для дивергенции аксиального тока:

∂

_μ

A

_μ

^qq

=i(m

_q

+m

_q

)q̅(x)γ

₅

q(x)+

 

T

_F

g

²

16π

²

ε

^μνρσ

G

_μν

(x)G

_ρσ

(x).

(10.6)

Это так называемая треугольная аномалия Адлера - Белла - Джакива, которая будет рассмотрена в § 33, 37 и 38.

Также легко вычислить одновременные коммутационные соотношения для аксиальных A или векторных V токов и полей. Используя преобразования (10.3), для свободных полей получаем

δ(x

⁰

-y

⁰

)

 

[

V

₀

^qq'

(x),q''(y)]=-δ(x-y)δ

_qq''

q'(x)

 

,

δ(x

⁰

-y

⁰

)

 

[

A

₀

^qq'

(x),q''(y)]=-δ(x-y)δ

_qq''

γ

₅

q'(x)

 

и т.д.

(10.7)

Векторные и аксиальные токи коммутируют с полями глюонов и ду́хов. Одновременные коммутационные соотношения между аксиальными и векторными токами, построенными из свободных полей, проще всего записать, введя матрицы Гелл-Манна λ^α, действующие в цветовом пространстве (см. приложение В). Если рассматривать кварки трех ароматов (ƒ= 1,2,3) и определить векторные и аксиальные токи в виде

V

_μ

^α

(x)=

 

∑

^ƒƒ'

q

_ƒ

(x)

λ

_α

^ƒƒ'

γ

^μ

q

_f'

(x) ,

A

_μ

^α

(x)=

 

∑

^ƒƒ'

q

_ƒ

(x)

λ

_α

^ƒƒ'

γ

^μ

γ

₅

q

_f'

(x) ,

(10.8)

то возникают следующие коммутационные соотношения:

δ(x

⁰

-y

⁰

)[V

₀

^α

(x),V

_μ

^β

(y)]=2iδ(x-y)Σƒ

_αβδ

V

_δ

^δ

(x) ,

δ(x

⁰

-y

⁰

)[V

₀

^α

(x),A

_μ

^β

(y)]=2iδ(x-y)Σƒ

_αβδ

A

_δ

^δ

(x) ,

δ(x

⁰

-y

⁰

)[A

₀

^α

(x),A

_μ

^β

(y)]=2iδ(x-y)Σƒ

_αβδ

V

_δ

^δ

(x) и т.д.

(10.9)