Квантовая хромодинамика: Введение в теорию кварков и глюонов

Соотношения (10.7) и (10.9) получены для токов, составленных из свободных кварковых полей. Однако благодаря наличию δ-функции в правых частях (10.7) и (10.9) они эффективны только для малых расстояний; следовательно, в квантовой хромодинамике из-за свойства асимптотической свободы они остаются справедливыми в таком виде даже при учете взаимодействий между полями кварков и глюонов.

Также, легко вычислить одновременные коммутационные соотношения для сохраняющихся или квазисохраняющихся токов с гамильтонианом (или лагранжианом). Если ток J^μ сохраняется, то соответствующий ему заряд Q_J имеет вид

Q

_J

=

∫

d

^⃗

xJ

⁰

(t,

^⃗

x)

 

,

t=x

⁰

 

.

Он является интегралом движения и, следовательно, коммутирует с гамильтонианом:

[Q

_J

(t),ℋ(t,

^⃗

y)]=0.

Здесь ℋ — гамильтониан (плотность функции Гамильтона системы); он связан с тензором энергии-импульса соотношением ℋ=Θ⁰⁰. Обозначим массовый член, входящий в гамильтониан ℋ, через ℋ':

ℋ'=

 

∑

^q

m

_q

q

q.

Тогда, если ток J является квазисохраняющимся, то справедливо соотношение

[Q

_J

(t),ℋ'(t,

^⃗

y)]=i∂

_μ

J

^μ

(t,

^⃗

y).

Конечно, заряд Q_J по-прежнему коммутирует с остальными членами гамильтониана ℋ.

§ 11. Ренормализационная группа

Рассмотрим, например, перенормировку кваркового пропагатора. В калибровке Ферми — Фейнмана в рамках μ-схемы

S

_(μ)

^R

(p;g,m)=i

1-(4/3)g

²

A

_(μ)

^R

(p

²

)

p

-m{1-(4/3)g

²

B

_(μ)

^R

(p

²

)}

 .

(11.1 а)

где

A

_(μ)

^R

(p

²

)=

2

∫

¹

16π

²

₀

dx(1-x)

xm

²

+x(1-x)μ

²

xm

²

-x(1-x)p

²

 ,

B

_(μ)

^R

(p

²

)=

-2

∫

¹

16π

²

₀

dx(1+x)log

xm

²

+x(1-x)μ

²

xm

²

-x(1-x)p

²

 ,

(11.1 б)

В рамках схемы MS выражения для пропагатора S и функций A и B имеют вид

S

_(ν)

^R

(p;g,m)=i

1-(4/3)g

²

A

_R

(p

²

,ν)

p

-m{1-(4/3)g

²

B

_R

(p

²

,ν)

 ,

(11.2 а)

A

_R

=

1

16π

²

{

-1-2

∫

¹

₀

dx(1-x)log

xm

²

-x(1-x)p

²

ν

²

₀

}

 ;

B

_R

=

1

16π

²

{

1+2

∫

¹

₀

dx(1+x)log

xm

²

-x(1-x)p

²

ν

²

₀

}

 .

(11.2 б)

Видно, что перенормировочная процедура вводит в функции Грина зависимость от произвольного параметра размерности массы: это точка нормировки μ² в μ-схеме или шкала масс ν² в схеме MS.

Начнем с рассмотрения μ-схемы перенормировки. Предположим, что точка нормировки изменилась и вместо прежнего значения μ взято новое значение μ'. Если использовать лишь выражения (11.16), в которых параметр μ заменен на μ', то выражение для кваркового пропагатора S^(μ')_R будет отличаться от прежнего. Но мы хотим построить теорию, которая была бы определена однозначно; следовательно, необходимо скомпенсировать изменение кваркового пропагатора. Этого можно добиться, если принять, что масса кварка тоже зависит от точки нормировки μ.

Поэтому перепишем выражение (11.1а) для пропагатора в виде

S

_(μ)

^R

(p;g,m(μ))=i

1-(4/3)g

²

A

_(μ)

^R

(p

²

)

p

-m(μ){1-(4/3)g

²

B

_(μ)

^R

(p

²

)}

 .

(11.3)

Существование зависимости массы кварка от точки нормировки очевидно из выражения для перенормированного пропагатора S_R, записанного через неперенормированный пропагатор:

S

_(μ)

^R

(p;g,m(μ))

=

Z

_-1

^F

(μ)S

_uD

(p;g,m

_uD

);

m

_uD

=

Z

_m

(μ)m(μ).

(11.4)

Поэтому для обеспечения независимости кваркового пропагатора от точки нормировки μ достаточно подходящим образом выбрать зависимости перенормировочных множителей Z_F и Z_m от этой точки. Другими словами, если известно выражение для пропагатора S^(μ)_R при (p;g,m(μ)), то можно вычислить его значение и при (p=μ';g,m(μ)). После этого определим пропагатор S^(μ')_R, нормированный в точке μ',в виде

S

_(μ')

^R

(μ',g,m(μ'))=

i

p

-p(μ')

.

Потребовав равенства выражений для пропагаторов при p=μ', можно определить функции m=(μ') и Z_F=(μ')/Z_F=(μ). В результате, например, получаем следующее выражение для функции m=(μ'):

m(μ')=m(μ)

{

1-

2

3

α

_g

∫

¹

π

₀

dx(1+x)log

xm+x(1-x)μ'

²

xm+x(1-x)μ

²

}

.

В рамках схемы MS рассуждение оказывается более простым, но вместе с тем и более тонким ^17б). После проведения регуляризации во всех выражениях возникает произвольный параметр ν₀, имеющий размерность массы. Если мы хотим получить функции Грина, не зависящие от этого произвольного параметра ν₀, то этого можно добиться, отбросив в возникающих выражениях не только (4π)^ε/2Γ(ε/2), а весь член (4π)^ε/2Γ(ε/2)ν^ε₀. Единственный способ достичь этого состоит во введении нового параметра ν размерности массы, так что теперь перенормировочный множитель Z заменяется на комбинацию Z(ν)=(ν₀/ν)^εZ; которая сократится с множителем N^ν₀=2/ε-γ_E+log4π+logν₀. Перенормированные функции Грина будут зависеть от параметра ν, но не будут уже зависеть от ν₀. Предположим, что мы хотим изменить значение параметра ν, но так, чтобы при этом не возникло физических эффектов. Для этого достаточно ввести зависимость от параметра ν в константу связи g, массу кварка m и калибровочный параметр ξ (в дополнение к зависимости от ν перенормировочного множителя Z). Для функции Грина Γ с отсеченными внешними линиями получаем

^17б) Используемая здесь перенормировочная схема MS несколько отличается от стандартной схемы MS, хотя по существу полностью ей эквивалентна.

Γ

_R

(p

₁

,…,p

_N-1

;g(ν),m(ν),ξ(ν);ν)

=Z

_-½

^Φ₁

(ν)…Z

_½

^Φ_N

(ν)Γ

_uD

(p

₁

,…,p

_N-1

;g

_uD

,m

_uD

,ξ

_uD

);

(11.5)

g

_uD

=Z

_g

(ν)g(ν),