Квантовая хромодинамика: Введение в теорию кварков и глюонов

Проводя вычисления в низшем порядке теории возмущений по константе электромагнитного взаимодействия, получаем

⟨Γ|S

_QCD+em

|e

⁺

e

^-

⟩

=

-e²

2!

⟨Γ|

∫

d

⁴

x

₁

d

⁴

x

₂

ℒ

₀

^int,em

(x

₁

)ℒ

₀

^int,em

(x

₂

)

×

exp i

∫

d

⁴

xℒ

₀

^int,QCD

(x)|e

⁺

e

^-

⟩ .

Рис. 10. Диаграммы, описывающие процесс е⁺е^-→адроны.

Используя правила диаграммной техники Фейнмана для квантовой электродинамики и учитывая обозначения рис. 10, а, амплитуду интересующего нас процесса можно выразить в форме

F(e

⁺

e

^-

→Γ)=

2πe²

q²

v

(p

₁

,σ

₁

)γ

_μ

u(p

₂

,σ

₂

⟨Γ|J

^μ

(0)|0⟩.

Суммируя по конечным адронным состояниям, для сечения e⁺e^--аннигиляции в адроны получаем

σ

_h

(s)

=

 

∑

^Γ

σ(e

⁺

e

^-

→Γ, s=(p

₁

+p

₂

)

²

)

=

2α²

s³

4π

²

l

_μν

 

∑

^Γ

(2π)

⁴

δ(p

₁

+p

₂

-p

_Γ

⟨Γ|J

^ν

(0)|0⟩⟨Γ|J

^ν

(0)|0⟩*.

(15.2)

Если пренебречь массой электрона, то тензор l_μν можно записать в виде

l

_μν

=

1

4

 

∑

^σ₁,σ₂

v

(p

₁

,σ

₁

)γ

_μ

u(p

₂

,σ

₂

)

[

v

(p

₁

,σ

₁

)γ

_μ

u(p

₂

,σ

₂

)]*

=

1

2

{q

_μ

q

_ν

-q

²

g

_μν

-

(p

₁

-p

₂

)

_μ

(p

₁

-p

₂

)

_ν

}.

Из приведенных формул видно, что нетривиальная часть выражения для сечения е⁺е^--аннигиляции в адроны связана с тензором

Δ

^μν

=

 

∑

^Γ

(2π)

⁴

δ(p

₁

+p

₂

-p

_Γ

)

⟨0|J

^μ

(0)|Γ⟩

⟨0|J

^ν

(0)|Γ⟩.

Используя полноту адронных состояний, в силу которой справедливо соотношение Σ_Γ|Γ⟩⟨Γ|=1, выражение для тензора Δ^μν можно переписать в виде

Δ

^μν

=

∫

d

⁴

x e

^iq⋅x

⟨[J

^μ

(x),J

^ν

(0)]⟩

₀

.

(15.3)

При выводе этой формулы использован закон сохранения энергии-импульса, благодаря которому слагаемые, отвечающие переставленным токам J, равны нулю. Удобно определить тензор Π^μν выражением

Π

^μν

(q)=

i

∫

d

⁴

x e

^iq⋅x

⟨ΤJ

^μ

(x)J

^ν

(0)⟩

⁰

.

(15.4 а)

где p₁+p₂=q; нетрудно убедиться в справедливости соотношения Δ^μν=2ImΠ^{μν 23)}: сечение e⁺e^- -аннигиляции в адроны связано с мнимой частью фотонного поляризационного оператора.

²³⁾ Простой, но несколько громоздкий способ убедиться в этом состоит в применении соотношений унитарности (2.8) и (2.9) к процессу рассеяния на нулевой угол e⁺e^-→e⁺e^- во втором порядке теории возмущений по константе электромагнитного взаимодействия.

Небольшие усложнения возникают из-за интерференции сильных и электромагнитных взаимодействий. Поскольку поляризационный оператор Π^μν вычисляется во втором порядке теории возмущений по константе электромагнитного взаимодействия e, необходимо учитывать перенормировку электрического заряда, описываемую двумя диаграммами рис. 10, б. Простейшее решение этого вопроса заключается в рассмотрении тесно связанной с наблюдаемыми характеристиками процесса мнимой части поляризационного оператора ImΠ^μν, для которой подобных усложнений не возникает.

Электромагнитные токи являются сохраняющимися, поэтому их аномальные размерности равны нулю. Если из выражения для поляризационного оператора Π^μν выделить тензорную структуру -q^μνq²+q^μq^ν :

Π

^μν

(q)=(-g

^μν

q

²

+q

^μ

q

^ν

)Π(q),

(15.4 б)

то в соответствии с общими положениями теории для мнимой части поляризационного оператора можно написать соотношение

ImΠ

_R

(q;m(ν),g(ν);ν)=ImΠ

_R

(νn;

m

(Q

²

),

g

(Q

²

);ν),

Q

²

=-q

²

=s, n

²

=1 .

(15.5)

Таким образом, надо вычислить лишь величину ImΠ_R(q;m(ν),g(ν);ν) и произвести в ней замены q=ν, m(ν)→m(Q²), q(ν)→q(Q²). В нулевом порядке теории возмущений возникает диаграмма рис. 10, в, из которой, пренебрегая массами кварков, приводящими к поправкам порядка m²/s , получаем

ImΠ

₍₀₎

^R

=

1

12Π

3

_nƒ

∑

^ƒ=1

Q

₂

^ƒ

.

(15.6)

Формула (15.6) подтверждает результат старой партонной модели [58, 120], в которой кварки считались свободными. Поэтому принято рассматривать отношение сечения аннигиляции в адроны σ_h к сечению процесса е⁺е^-→μ⁺μ^-, вычисленному в низшем порядке теории возмущений по электромагнитному взаимодействию:

R(s)=

σ

 

^h (s)

σ

₍₀₎

^{е+е-→μ+μ-} (s)

.

(15.7)

В нулевом порядке теории возмущений это отношение равно

R

₍₀₎

 

(s)=3

_nƒ

∑

^ƒ=1

Q

2

ƒ

.

(15.8)

Поправки следующего порядка представлены диаграммами рис. 10, г. С точностью до замены фотона глюоном и учета теоретико-группового множителя Σ_a,kt^a_ikt^a_kj=C_Fδ_ij эти диаграммы аналогичны соответствующим диаграммам квантовой электродинамики, вычисленным много лет назад в работе [180]. Воспользовавшись этим результатом, получаем [18, 278]

R

⁽¹⁾

(s)=3

_nƒ

∑

^ƒ=1

Q

₂

^ƒ

⎧

⎨

⎩

1+

α_s(Q²)

π

⎫

⎬

⎭

(15.9)

Поправки второго порядка вычислены в работах [67, 95]. В перенормировочной схеме MS во втором порядке теории возмущений

R

⁽²⁾

(s)

=

3

_nƒ

∑

^ƒ=1

Q

₂

^ƒ

⎧

⎨

⎩

1+

α_s(Q²)

π

+r

₂

⎧

⎪

⎩

α_s(Q²)

π

⎫²

⎪

⎭ 

⎫

⎬

⎭

,

r

₂

=

[

2

3

ζ(3)-

11

12

]

n

_ƒ

+

365

24

-11ζ(3)≃2.0-0.12n

_ƒ

(15.10)

Здесь ζ — дзета-функция Римана, а для константы сильных взаимодействий α_s следует использовать выражение второго порядка теории возмущений.