Квантовая хромодинамика: Введение в теорию кварков и глюонов

Рассмотрим общий случай слабых или электромагнитных токов. Общее выражение для тензора W^μν, записанное в терминах инвариантов, характеризующих процесс рассеяния, имеет вид

W

^μν

(p,q)

=

(-g

^μν

+q

^μ

q

^ν

/q

²

)W

₁

+

 

1

m

₂

^h

(p

^μ

-νp

^μ

/q

²

)(p

^ν

-νq

^ν

/q

²

)W

₂

+

i

ε

^μναβ

 

p_αq_β

2m

₂

^h

W

₃

.

(17.3)

Другие возможные члены при свертке с лептонным тензором L^μν обращаются в нуль. Соответствующие сечения рассеяния в лабораторной системе отсчета (в которой адрон h покоится) имеют вид^26в)

^26в) Все формулы относятся к процессам рассеяния электронов. Формулы для рассеяния μ-мезонов аналогичны. Для случая рассеяния нейтрино мы будем рассматривать только процессы, вызванные заряженными токами.

dσ^e

dΩdk'₀

=

α

₂

 

4m_hk

₂

⁰ sin⁴(θ/2)

⎧

⎨

⎩

W

_e

²

cos

²

θ

2

+2W

_e

¹

sin

²

θ

2

⎫

⎬

⎭

,

(17.4 а)

dσ^ν/ν

dΩdk'₀

=

G

₂

^F k'

₂

⁰

2π²m

 

^h

⎧

⎨

⎩

W

_ν±

²

cos

²

θ

2

+2W

_ν±

¹

sin

²

θ

2

±

k⁰+k'⁰

2m_h

W

_ν±

³

⎫

⎬

⎭

,

(17.4 б)

где θ — угол между векторами ^⃗k и ^⃗k' , dΩ= d cos θdφ, в формуле (17.4 б) знаки +(—) относятся к рассеянию ν(ν), G_F — постоянная Ферми, которую можно выразить через константу связи и массу W-бозона:

G

_F

=√

2

g

₂

^w

/8M

₂

^w

.

Функции Wi являются инвариантами и зависят от переменных Q² и ν. Удобно определить структурные функции ²⁷⁾

²⁷⁾ Определенные таким образом функции ƒi несколько отличаются от стандартных функций F, а именно ƒ₁=2xF₁, ƒ₂=F₂, ƒ₃=F₃. Такой способ введения структурных функций упрощает уравнения КХД, которые будут выписаны ниже. (Функции ƒ называются структурными, так как в системе бесконечного импупьса они описывают вероятность обнаружения в адроне партона с долей импупьса x . — Прим. перев.)

ƒ

_a

¹

(x,Q

²

)=2xW

_a

¹

,

ƒ

_a

²

(x,Q

²

)=

 

ν

m

₂

^h

W

_a

²

,

ƒ

_a

³

(x,Q

²

)=

Q²

2m_h

W

_a

³

,

(17.5)

где индекс а обозначает процессы ( e/μh, νh, νh. Иногда вместо структурной функции ƒ^a₁ используется продольная структурная функция

Формулу (17.3) удобно переписать в терминах структурных функций ƒ^a_i, небрегая импульсами q^μ и q^ν (которые при свертке с лептонным тензором L_μν обращаются в нуль)^27а):

^27а) В этом параграфе 4-вектор в координатном пространстве обозначен буквой z в отличие от бьеркеновской переменной x .

1

2 (2π)² ∫ d⁴z e^iq⋅z ⟨p|[J

_μ

^a (z)⁺,J

_ν

^a (0)]|p⟩

=

ν 

q² g^μνƒ

_a

¹ +

p^μp^ν

ν ƒ

_a

² +iε^μναβ

q_αp_β

q² ƒ

_a

³

=-

νg^μν

q² ƒ

_a

^L +

⎧

⎪

⎩

ν 

q² g^μν+

p^μp^ν

ν

⎫

⎪

⎭ ƒ

_a

² +iε^μναβ

q_αp_β

q² ƒ

_a

³ .

(17.7)

В случае e⁺e^- -аннигиляции удобно рассматривать хронологичесжое произведение адронных токов

Τ

_μν

^q

(p,q)=

i

(2π)

³

∫

d

²

z e

^iq⋅z

⟨p|

Τ

J

_μ

^a

(z)

⁺

J

_ν

^a

(0)|p⟩.

(17.8 а)

Если тензор Τ^μν записать в виде

Τ

_μν

^a

=

ν

q²

g

^μν

Τ

_a

¹

(x,Q

²

)+

p^μp^ν

ν

Τ

_a

²

(x,Q

²

)

+

i

ε

^μναβ

q_αp_β

q²

Τ

_a

³

(x,Q

²

),

(17.8 б)

то, как показано на рис. 12, д, е,

ƒ

_a

ⁱ

=

1

2π

Im

Τ

_a

ⁱ

.

(17.8 в)

Рассмотрим бьеркеновский предел в так называемой системе бесконечного импульса:

p=(p

⁰

,0,0,p

⁰

);

q=(ν/2p

⁰

,√

Q

²

,0,ν/2p

⁰

);

p

⁰

≈ν

^½

→∞ .

(17.9)

Записав произведение q⋅z в виде

q⋅x=

1

2

(q

⁰

-q

³

)(z

⁰

+z

³

)+

1

2

(q

⁰

+q

³

)(z

⁰

-z

³

)-

q

¹

z

¹

,

мы видим, что случай z⋅q=0 в бьеркеновском пределе соответствует приближенным соотношениям

z

⁰

±z

³

≈1/ν

^½

,

z

¹

≈1/ν

^½

.

Иными словами z²→0 ²⁸⁾.

²⁸⁾ В действительности компоненту z₂ можно сделать сколь угодно большой. Однако этому соответствует z₂<0. При этом в силу локального характера теории коммутатор [J(z),J(0)] равен нулю; ненулевой вклад возникает только в случае z²,₂∼z²,₀, т.е. при z²∼0.

Из хорошо известного свойства фурье-преобразования следует, что при фиксированном значении переменной x поведение фурье-образа коммутатора токов в (17.2 б) или хронологического произведения в (17.8 а) при больших значениях переменной q определяется областью z²≈O(1/q²), иными словами, поведением коммутатора или хронологического произведения адронных токов

[J

^μ

(z)+,J

^ν

(0)]

или

Τ

J

^μ

(z)J

^ν

(0)

(17.10)

на световом конусе.

Рис. 13. Партонная модель.

Учитывая явление асимптотической свободы, следует ожидать, что эти коммутаторы и хронологические произведения можно вычислить с точностью до логарифмических поправок, пренебрегая взаимодействием кварков и рассматривая адронную мишень как совокупность свободных кварков. Такая модель, названная партонной моделью, была предложена Фейнманом [119]. Чтобы понять некоторые следствия этой модели, рассмотрим процесс глубоконеупругого ep-рассеяния. Обозначим через q_ƒ(x) вероятность обнаружения в адроне кварка аромата ƒ, обладающего долей импульса x . Тогда полное сечение реакции e+p→e+all получается некогерентным суммированием (кварки считаются свободными) взвешенных множителем q_ƒ(x) сечений, процессов e+ƒ→e+ƒ (рис. 13), вычисление которых не представляет трудностей. Отсюда немедленно находим ƒ^ep₂(x,Q²)= ƒ^ep₁(x,Q²) и

ƒ

_ep

2

(x,Q

²

)

=

^Q2→∞

x

 

∑

^ƒ

Q

₂

^ƒ

q

_ƒ

(x).

(17.11)