Квантовая хромодинамика: Введение в теорию кварков и глюонов

К сожалению, часто забывают об этом простом факте: параметры теории можно получить только во втором порядке теории возмущений; в низшем же порядке параметры Λ и Λ_ms взаимозаменяемы, так как возникающая при этом ошибка второго порядка малости. Кроме того, когда приводят значение, например величины Λ (то же справедливо и для эффективной массы m̂), надо указывать, в рамках какой перенормировочной схемы получено это значение. Как параметр обрезания Λ , так и эффективная масса m̂ являются ренормин-вариантными величинами, но они меняются при переходе от одной схемы к другой. В этой книге в основном используется перенормировочная схема MS вследствие ее простоты. В ней не возникает трансцендентных выражений (типа -γ_E+log4π). К тому же эта схема, вообще говоря, приводит к малым поправкам во втором порядке теории возмущений. Например, в схеме минимального вычитания для величины r_2,ms имеем

r_2,ms≈7,4 - 0,44n_ƒ

в то время как в перенормировочной схеме MS эта величина имеет значение 2,0 - 0,12n_f.

В этой схеме предпочтительное экспериментальное значение параметра обрезания равно

Λ≈0,13

_+0,07

^-0,05

ГэВ.

Это соответствует значению Λ_ms = 0,05 ГэВ. Значения эффективных кварковых масс равны

10≳m̂

_u

≳5МэВ,

20≳m̂

_d

≳10МэВ,

400≳m̂

_s

≳200МэВ.

Численное значение параметра обрезания Λ можно было бы найти, сравнивая вычисленное теоретически значение величны R с измеренным значением, но точность экспериментальных данных довольно мала (рис. 11). Для этой цели можно использовать другие процессы, например процессы глубоконеупругого рассеяния электронов или нейтрино или распады кваркониев Ψ и Y. Определение эффективных масс кварков рассматривается в § 32.

§17. Кинематика процессов глубоконеупругого рассеяния; партонная модель

Рассмотрим процесс l+h→l'+all, где l и l' —лептоны, h -адронная мишень, а символ all обозначает суммирование по всем возможным конечным состояниям Γ (рис. 12, а). Если начальный и конечный лептоны совпадают, т.е. l=l'=e (электрон) или μ (мюон), (рис. 12, 6) то этот процесс представляет собой исследование адрона h в низшем порядке теории возмущений по электромагнитному взаимодействию, а соответствующим оператором является электромагнитный ток

J

_μ

^em

=

 

∑

^q

Q

_q

q

γ

^μ

q;

ℒ

_int,em

=eJ

_μ

^em

A

_μ

.

Рис. 12. Диаграммы, описывающие процесс глубоконеупругого рассеяния.

Если l=ν_μ (нейтрино), a l'=μ (мезон) (рис. 12, в ), то процесс обусловлен слабым заряженным током

J

_μ

^w

=

u

γ

^μ

(1-γ

₅

)d

_θ

+

c

γ

^μ

(1-γ

₅

)d

_s

+… ,

ℒ

_int,w

=

1

2√2

g

_w

J

_μ

^w

W

_μ

;

константа слабого взаимодействия g_w удовлетворяет соотношению g²_w/M^2w=4√2G_F, где G_F = 1,027^-1_протон, М_w - масса векторного бозона, а

d

_θ

=d cosθ

_C

+ s sinθ

_C

,

s

_θ

= - d sinθ

_C

+ s cosθ

_C

.

Если l=l'=ν_μ (нейтрино), то процесс вызван слабым нейтральным током (рис. 12, г); тогда в стандартной теории электрослабых взаимодействий имеем

J

_μ

^Z

=

⎧

⎪

⎩

1

2

-

4sin²θ_w

3

⎫

⎪

⎭

u

γ

^μ

u+

⎧

⎪

⎩

-

1

2

+

2sin²θ_w

3

⎫

⎪

⎭

d

γ

^μ

d

+

1

2

u

γ

^μ

γ

₅

u

-

d

γ

^μ

γ

₅

d

ℒ

_int,Z

=

 e 

2cosθ_wsinθ_w

J

_μ

^Z

Z

_μ

,

где sin²θ_ω = 0,22.

Введем бьеркеновские переменные

Q

²

=-q

²

,

ν=p⋅q ,

x=Q

²

/2ν ;

заметим, что ведачину s в бьеркеновских переменных можно записать в виде

s=p

₂

^Γ

=-Q

²

+m

₂

^h

+2ν=2ν{1+m

₂

^h

/2ν-x} .

Предел глубоконеупругого рассеяния, или бьеркеновский предел, соответствует значениям Q² , ν≫Λ² при фиксированном х = Q²/2ν. Используя стандартные правила диаграммной техники, амплитуду рассеяния, например, для случая e/μ можно записать в виде

Τ

_e+h→e+Γ

=

2α

q²

u

(k',σ')γ

^μ

u(k,σ)

×

(2π)

²

δ(p+q-p

_Γ

)

⟨Γ|J

_μ

(0)|p,τ⟩ .

(17.1)

Здесь σ (σ') — спины падающего (рассеянного) электрона, а τ - спин адрона-мишени h. Отметим ковариантный характер нормировки векторов состояний (см - приложение Ж):

⟨p',τ'|p,τ⟩

=

2p

⁰

δ

_ττ'

δ(

^⃗

p-

^⃗

p').

Для неполяризованных частиц сечение процесса e+h→e+all выражается через лептонный L^μν и адронный W^μν тензоры (массами лептонов мы всюду пренебрегаем)^26а)

^26а Множители 1/2 в формулах (17.2) возникают в результате усреднения по спину исходного нуклона и "спиральности" виртуального фотона.

L

^μν

=

1

2

 

∑

^σσ'

u

(k',σ')γ

^u

u(k,σ)

[

u

(k',σ')γ

^u

u(k,σ)]

^*

=

2(k

^μ

k'

^ν

+k

^ν

k'

^μ

-k⋅k'g

^μν

) ,

W

^μν

(p,q)

=

1

2

1

2

 

∑

^τ

 

∑

^Γ

(2π)

⁶

δ(p+q-p

_Γ

)

⟨p,τ|J

^μ

(0)

⁺

|Γ⟩

×

⟨Γ|J

^ν

(0)|p,τ⟩.

(17.2 а)

Конечно, эрмитово-сопряженный электромагнитный ток J^ν+ удовлетворяет равенству J^ν+=J^ν, но мы записали выражение (17.2а) в общем виде, справедливом и для процессов, обусловленных слабыми токами. Выражение (17.2а) можно записать в другом виде ^26б

^26б) В эквивалентности такой записи можно убедиться, вставив в формулу (17.2 б) сумму по полному набору состояний Σ_Γ|Γ⟩⟨Γ| и заметив, что в силу закона сохранения энергии-импульса вклад второго слагаемого равен нулю.

W

^μν

(p,q)=

1

2

(2π)

²

∫

d

⁴

ze

^iq⋅z

⟨p|[J

^μ

(z)

⁺

,J

^ν

(0)]|p⟩,

(17.2 б)

где подразумевается усреднение по спину адрона-мишени τ .