Личность и Абсолют

d) Можно сказать еще и так—эта дедукция будет, пожалуй, яснее. В детерминанте самое главное—это непосредственно значащее число, вычисляемое из определенной комбинации других чисел (как сумма их всевозможных произведений). В матрице эти числа застывают в своей самостоятельности и уже больше не растворяются в общей числовой значимости детерминанта. В группе внутреннее содержание детерминанта выходит наружу, т. е. вся та сумма всевозможных произведений элементов, которая в детерминанте только предполагалась, но не была положена, теперь полагается, т. е. затвердевает так же, как элементы детерминанта затвердели в матрице. Теперь затвердевают уже не самые элементы, а те методы их комбинирования, которые приводили к числу как непосредственной значимости детерминанта, т. е. получается сумма всевозможных произведений, но уже не как сумма, а как комплекс и—не как произведений, но как комплексов, — ряд рядов. Тут, очевидно, по методу ставшего, т. е. внешне, матрично, явлено внутреннее содержание детерминанта. Остается, стало быть, чтобы это внутренновнешнее бытие получило развитие и перешло в смысловое становление. Для этого необходимо, что [бы] полученные комплексы закономерно один в другой переходили—путем той или иной операции. Это значит, что наши комплексы должны быть так подобраны, чтобы они были одновременно и комплексами элементов, тождественными с теми, из которых составлялись в детерминанте произведения, и такими комплексами, которые возникают один из другого путем однообразной операции. Последняя и есть композиция.

3. а) Итак, мы получили понятие группы и понятие композиции. Ipynna имеет в качестве закона своей структуры композицию. Спрашивается: о каких же композициях может идти речь в математике? Композиция есть закон объединения двух или нескольких чисел, вступающих в общую совокупность, именуемую нами как выразительное арифметическое число. Но ведь законы объединения чисел уже подробно обследованы нами в своем месте; это есть не что иное, как самые Обыкновенные арифметические действия. Кроме того, и диалектика может говорить только о том же самом. Поскольку внешнее тут не может быть только голым придатком, оно должно развиться в становление. Но становящееся инобытие, по–предыдущему, есть именно арифметическое действие (разнонаправленный счет). Следовательно, перебирая все известные арифметические действия, мы и получим разные виды композиции. Ведь детерминант, будучи освобожден от непосредственно–количественной значимости, рассыпался на ряд произведений, как и эти последние, освобожденные от того же самого, рассыпались на ряд дискретных друг в отношении друга чисел. Правда, выйдя изнутри наружу, детерминант вовсе не уничтожился, но, как было показано выше, наоборот, определил собою эту внешность. Но если бы только он определял эту внешность, то эта внешность так и осталась бы не выразительной, а перво–принципом выражения, каковым являлся и сам детерминант. Внешность должна вовлечь этот перво–принцип в свою стихию и превратить его в становление; только тогда внутренно–внешнее становление, понимаемое как особым образом сконструированный смысл, окажется настоящим выражением. Поэтому, хотя детерминантово–матрйчная основа и остается в группе и при желании она всегда Может быть выдвинута на первый план (как это делается, напр., в линейно–матричных представлениях групп), все же группа обладает, сверх того, еще и своим собственным законом композиции т. е. эти же самые элементы группы, освобожденные от непосредственно–числовой значимости детерминанта, оказываются связанными между собою еще особыми арифметическими действиями. Детерминантово–матричная структура группы залегает внутри группы, перекрываясь сверху еще особым композиционным слоем. Вернее же сказать, поскольку детерминантово–матричная структура должна быть сразу и внутренней, и внешней, одна и та же структура группы является и внутренновнешней детерминантово–матричной, и становящейся внутренно–внешней композиционной. Группа есть ряд матриц (следовательно, она таит в себе и детерминантную структуру), но в то же время переход от одной из этих матриц к другой совершается по особому композиционному закону (поэтому детермйнантовость тождественна здесь с композицией). Так ставшее, детерминантово–матрично наружу и композиционно распространяясь вовне, становится выразительной формой группы.

b) Войдем ближе в содержание понятия композиции. Сказано, что это есть попросту различные арифметические действия. Когда система наших числовых систем определена сложением и вычитанием, она называется модулем. Когда она определена умножением и делением, ее называют лучом или группой в узком смысле слова. Когда тут действуют сложение, вычитание и умножение, говорят о кольце. И когда, наконец, [говорят] о всех первых четырех действиях арифметики, [то] говорят об «алгебраическом» поле или теле (допуская обычную противоречивость в термине «алгебраический»). Наконец, прочие арифметические действия представлены в том, что называется расширениями поля.