Малыши и математика. Домашний кружок для дошкольников

Рис. 123. Чтобы из квадрата 4x4 получить квадрат 5x5, добавляем к нему две полоски длины 4. Однако то, что получилось — это ещё не совсем квадрат: надо добавить ещё один кубик.

Тут Дима сообразил, что к 16 следует добавлять не 8, а 9, и сказал ответ: 25. К 25 он уже сразу прибавил правильное число: 11 — и получил 36. Так мы, добавляя последовательно 13, 15, 17, 19, и добрались до ста.

Очень забавно, что ту закономерность, к которой я их вёл — что сумма нечётных чисел равна квадрату — ребята угадали с самого начала; зато они никак не могли догадаться до того, что мне казалось самоочевидным: что квадрат можно вычислить как произведение 4∙4, 5∙5 и т. п. Перед нами лежал квадрат 5 х 5, и я всё спрашивал, как можно подсчитать количество кубиков в нём, а дети всё пересчитывали их разными зигзагами и спиралями, и никак не могли догадаться, что можно взять пять раз по пять. Лишь с большим трудом, упрёками-намёками, мне удалось подсказать им эту идею. Я стал спрашивать, чему равно 6∙6, 7∙7 и т. д., но они уже не вычисляли, а сразу говорили ответ, глядя в свои записи. Их вера в закономерность незыблема. В заключение я задал им на дом такую задачу: найти сумму 1 + 3 + 5 + 7 + … + 99. Петя с Женей только хихикали в ответ и говорили:

— О-ой, девяносто девять!

Дима отнёсся к задаче более серьёзно и сказал:

— Я похожую задачу уже решал, но не помню, как…

Потом, когда все уже разошлись, он вспомнил, что нужно складывать крайние члены — и тогда каждый раз получится 100: 1 + 99 = 100, 3 + 97 = 100, Однако поначалу он ошибся, назвав ответ 5 000. Я сказал:

— Неправильно.

Некоторое время (минут пять) Дима приставал ко мне, что нет, всё-таки правильно. Потом вдруг догадался:

— А-а, здесь будет не пятьдесят раз по сто, а в два раза меньше!

И тут же выдал ответ: 2 500.

Через несколько дней Дима сам предложил вычислить сумму нечётных чисел от 1 до 199 и получил правильный ответ: 10 000. Я предложил ему досчитать до 999. Он слегка испугался, но стал считать. Деля 500 пополам, он ошибся и получил 270, так что его первоначальный ответ был 270 000. Я сказал:

— Неправильно.

И он исправился. Характерно, что его метод не совпадает с тем, на который я пытался натолкнуть ребят во время занятия, т. е. он вычисляет не квадрат. Более точно: я имел в виду для вычисления суммы 1 + 3 +… + (2n

— 1) использовать формулу n², а Дима вместо этого использует формулу 2n.

Как-то в разговоре я сказал ему, что пытался намекнуть им на другую идею: подсчитать количество чисел в сумме и умножить это число само на себя.

Дима обдумал моё утверждение и поразил меня совершенно нетривиальным замечанием:

— Твой метод лучше, потому что мой годится не для всех чисел, а только для тех, которые делятся на 4.

(Имеется в виду, что 2n должно делиться на 4.)

Занятие 74. Геометрия чисел

24 ноября 1983 года (четверг). 18⁰⁰-19⁰⁰ (1 час). Дима, Петя, Женя.

Задание 1. Фокус — лишняя клетка.

Я показал ребятам известный фокус с появлением лишней клетки. В этом фокусе квадрат размером 8x8 (или «шахматная доска») разрезается на 4 части: два треугольника и два четырёхугольника, и из них складывается прямоугольник 5x13 (рис. 124).

Рис. 124.

Квадрат площади 8∙8 = 64 разрезается на части, и из них складывается прямоугольник площади 5∙13 = 65. Откуда взялась лишняя клетка?

Все операции мы производили физически, т. е. рисовали на бумаге, разрезали, перекладывали и т. п. Попутно обсудили множество полезных вещей: что такое квадратный сантиметр, и что площадь комнаты 8 см х 8 см будет не 8 см², а 64 см² (или, как пытались сказать ребята, «квадратный восьмисантиметр») и т. п. Видимо, представление о площади уже начинает у них складываться: хотя они и не понимали поначалу, о чём идёт речь (когда я стал говорить про площадь) и не догадывались, что площадь комнаты получается произведением сторон, но всё же появлению лишней клетки очень удивились. Секрета я им, конечно, не раскрыл.

Я думал, что мы просто где-то ошиблись в подсчёте и много раз пересчитывал разными способами, но ничего не помогало. — Дима.

Очень смешной был момент, когда Дима принялся подсчитывать количество клеток на шахматной доске. Почему-то наиболее естественный способ счёта, полосками по 8 клеток, ему в голову не пришёл. Сначала он стал считать по спирали (рис. 125); естественно, после нескольких витков он сбился, пошёл не на ту линию. Петя ему на это указал, возник спор, и в итоге оба забыли, куда двигаться дальше и сколько клеток уже сочтено.