Малыши и математика. Домашний кружок для дошкольников

Эта событие надолго запало мне в память. Я искал объяснения — и не находил. В школе я узнал, что в шестом классе начнётся алгебра, и там будут формулы. Детям редко приходит в голову мысль, что можно заглянуть в учебник за будущие классы. И я терпеливо ждал шестого класса, надеясь, что тогда-то и придёт долгожданное просветление. В шестом классе я написал формулу ab = ba, долго и тупо смотрел на неё, но никакого просветления так и не произошло. В девятом классе я попал в знаменитый Колмогоровский физико-математический интернат при Московском университете. Программа там была продвинутой; мы довольно быстро перешли к изучению групп, полей и колец. «Господи, какой же я был глупый, — решил я. — Ведь это же просто-напросто аксиома, и называется она коммутативностью. А аксиомы не доказывают».

Время шло, и я ещё слегка поумнел. Я понял, что аксиома-то она аксиома, но ввели её не потому, что кто-то так распорядился, не по чьему-либо капризу, а потому что это свойство реально выполняется при умножении натуральных чисел.

(Заметим здесь в скобках, что, например, возведение в степень — т. е. «повторяющееся умножение» — вовсе не коммутативно. Умножьте 5 само на себя 3 раза, а потом умножьте 3 само на себя 5 раз, и результаты получатся совершенно различные. А вот для «повторяющегося сложения» почему-то получается одно и то же.)

И уж не помню сейчас, когда и почему я осознал, что речь идёт просто о том, чтобы по-разному сосчитать одно и то же множество предметов. Мы берём «сколько-то» камешков и выкладываем их в три ряда по пять штук; а это то же самое, что выложить их в пять рядов по три штуки — смотря что считать рядом (рис. 9). Так значит, всё дело в том, что если одни и те же предметы считать в разном порядке, то результат должен получиться один и тот же! И, значит, не так-то уж это свойство и очевидно, если его осознание потребовало стольких лет и стольких умственных усилий.

Рис. 9.Здесь 3 горизонтальных ряда по 5 кружков в каждом, т. е. всего 5–3. Но можно также и сказать, что здесь 5 вертикальных рядов по 3 кружка в каждом, т. е. всего 3–5. Если верить в то, что как ни считай, получишь одно и то же, то следует заключить, что 5–3 = 3–5.

И в заключение — ещё одна сценка. Точнее, подслушанный диалог. Участников двое — муж и жена; оба пенсионеры, обоим около 80 лет. Поэтому речь и движения персонажей происходят в замедленном темпе. Жена собирается готовить на ужин яичницу. Неожиданное препятствие: сковородка, в которой она обычно это делает, осталась непомытой после обеда.

— Митя, большая сковородка грязная.

Муж — с оттенком раздражения, так как его оторвали от его занятий:

— Сделай в маленькой.

— Так я боюсь, что мало будет…

Муж — слегка поразмыслив над этим обстоятельством и пожимая плечами:

— Тогда помой большую.

А как же закон сохранения количества вещества?!

Очень легко себе представить иные обстоятельства. Тем же самым двум старичкам даётся формальный «тест на интеллект». Вопрос: если разбитые яйца перелить из одной сковородки в другую, то содержимого станет (а) больше; (б) меньше; (в) останется столько же; (г) результат операции зависит от размера сковородок. Я нисколько не сомневаюсь, что в этом случае ответ был бы правильным. И это наводит на разные вопросы, которые я даже затрудняюсь отчётливо сформулировать. Вопросы, во-первых, о соотношении между формально выученным и реально усвоенным. И, во-вторых, о том, в какой степени мы в нашем повседневном поведении руководствуемся «правильными рассуждениями», и в какой — некой наглядной «видимостью», тем, что «кажется глазу». (Видите, как много здесь кавычек (а также и скобок)? Это всё оттого, что не получается у меня выразить свою мысль «коротко и ясно».)

О пользе чтения книг по психологии

Математиков не всегда легко убедить в том, что книги по психологии представляют хоть какой-нибудь интерес. Их там смущает всё: и терминология, и уровень доказательности, и сами постановки задач. Я помню один диалог, оборвавшийся в самом начале. Я стал рассказывать молодому студенту об одной серии экспериментов.

— Вот, например, — сказал я — такой вопрос: способен ли двухмесячный младенец обучаться?

В ответ мой собеседник только хмыкнул.

— А что, разве это не очевидно? Спросили бы у меня, я бы им сразу сказал.

Что тут можно возразить? Ну конечно же может, это и в самом деле всем очевидно. Аналогичным образом отреагировал один мой знакомый француз на известие о том, за что была присуждена очередная Нобелевская премия по экономике. Её получатель доказал, что экономическое поведение людей не является рациональным, логичным.

— Мог бы спросить у моей консьержки, — пожал плечами француз.