Математические головоломки

На 5 руб. куплено 100 штук разных фруктов. Цены на фрукты таковы:

Сколько фруктов каждого рода было куплено?

Рис. 8

РЕШЕНИЕ

Обозначив число арбузов через х, яблок через у и слив через z, составляем два уравнения:

Вычтя из первого уравнения второе, получим одно уравнение с двумя неизвестными:

49x + 9y = 400.

Дальнейший ход решения таков:

Из неравенств

1-9t ≥ 0 и 39+49t ≥ 0

устанавливаем, что

и, следовательно, t = 0. Поэтому

х = 1, у = 39.

Подставив эти значения х и у во второе уравнение, получаем: z = 60.

Итак, куплены были 1 арбуз, 39 яблок и 60 слив. Других комбинаций быть не может.

Отгадать день рождения

ЗАДАЧА

Умение решать неопределенные уравнения дает возможность выполнить следующий математический фокус.

Вы предлагаете товарищу умножить число даты его рождения на 12, а номер месяца – на 31. Он сообщает вам сумму обоих произведений, и вы вычисляете по ней дату рождения.

Если, например, товарищ ваш родился 9 февраля, то он выполняет следующие выкладки:

9 · 12 = 108, 2 · 31 = 62,

108 + 62 = 170.

Это последнее число, 170, он сообщает сам, и вы определяете задуманную дату. Как?

РЕШЕНИЕ

Задача сводится к решению неопределенного уравнения

12х + 31у = 170

в целых и положительных числах, причем число месяца х не больше 31, а номер месяца у не больше 12:

Зная, что 31 ≥ x > 0 и 12 ≥ y > 0, находим границы для t₁:

Следовательно,

t₁ = 0, x = 9, у = 2.

Дата рождения 9-е число второго месяца, т. е. 9 февраля.

Можно предложить и другое решение, не использующее уравнений. Нам сообщено число а = 12х + 31у. Так как 12x + 24y делится на 12, то числа 7у и а имеют одинаковые остатки от деления на 12. Умножив на 7, найдем, что 49y и 7а имеют одинаковые остатки от деления на 12. Но 49y = 48у + y, а 48у делится на 12. Значит, у и 7а имеют одинаковые остатки от деления на 12. Иными словами, если а не делится на 12, то у равен остатку от деления числа 7а на 12; если же а

делится на 12, то y = 12. Этим число у (номер месяца) вполне определяется. Ну, а зная у, уже ничего не стоит узнать х.

Маленький совет: прежде чем узнавать остаток от деления числа 7а на 12, замените само число a его остатком от деления на 12 – считать будет проще. Например, если а = 170, то вы должны произвести в уме следующие вычисления:

Теперь вы можете сообщить товарищу дату его рождения: 9 февраля.

Докажем, что фокус всегда удается без отказа, т. е. что уравнение всегда имеет только одно решение в целых положительных числах. Обозначим число, которое сообщил ваш товарищ, через а, так что нахождение даты его рождения сводится к решению уравнения

12х + 31у = a.

Станем рассуждать «от противного». Предположим, что это уравнение имеет два различных решения в целых положительных числах, а именно решение x₁, y₁ и решение x₂, y₂, причем x₁ и x₂ не превосходят 31, a y₁ и y₂ не превосходят 12. Мы имеем:

12x1 + 31y₁ = a,

12x2 + 31y₂ = a.

Вычитая из первого равенства второе, получим:

12 · (x₁ – x₂) + 31 · (y₁ – y₂) = 0

Из этого равенства вытекает, что число 12 · (x₁ —x₂) делится на 31. Так как x₁ и x₂ – положительные числа, не превосходящие 31, то их разность по величине меньше чем 31. Поэтому число 12 · (x₁ – x₂) может делиться на 31 только в том случае, когда x₁ = x₂, т. е. когда первое решение совпадает со вторым. Таким образом, предположение о существовании двух различных решений приводит к противоречию.

Какой прямоугольник?

ЗАДАЧА

Стороны прямоугольника выражаются целыми числами. Какой длины должны они быть, чтобы периметр прямоугольника численно равнялся его площади?

РЕШЕНИЕ

Обозначив стороны прямоугольника через х и у, составляем уравнение

2х + 2у = ху,

откуда

Так как х и у должны быть положительными, то положительным должно быть и число у – 2, т. е. у должно быть больше 2. Заметим теперь, что

Так как х должно быть целым числом, то выражение  должно быть целым числом. Но при у > 2 это возможно лишь, если у равно 3, 4 или 6. Соответствующие значения х будут 6, 4, 3.

Итак, искомая фигура есть либо прямоугольник со сторонами 3 и 6, либо квадрат со стороной 4.

Два двузначных числа

ЗАДАЧА

Числа 46 и 96 обладают любопытной особенностью: их произведение не меняет своей величины, если переставить их цифры.

Действительно,

46 · 96 = 4416 = 64 · 69.

Требуется установить, существуют ли еще другие пары двузначных чисел с тем же свойством. Как разыскать их все?

РЕШЕНИЕ

Обозначив цифры искомых чисел через х и у, z и t, составляем уравнение

(10х + у) (10z + t) = (10y + x) (10t + z).

Раскрыв скобки, получаем после упрощений:

хz = уt,

где х, у, z, t — целые числа, меньшие 10. Для разыскания решений составляем из 9 цифр все пары с равными произведениями:

1 · 4 = 2 · 2

1 · 6 = 2 · 3

1 · 8 = 2 · 4

1 · 9 = 3 · 3

2 · 6 = 3 · 4

2 · 8 = 4 · 4

2 · 9 = 3 · 6

3 · 8 = 4 · 6

4 · 9 = 6 · 6

Всех равенств 9. Из каждого можно составить одну или две искомые группы чисел. Например, из равенства 1 · 4 = 2 · 2 составляем одно решение:

12 · 42 = 21 · 24.

Из равенства 1 · 6 = 2 · 3 находим два решения:

12 · 63 = 21 · 36, 13 · 62 = 31 · 26.

Таким образом разыскиваем следующие 14 решений:

12 · 42 = 21 · 24