Математические головоломки

Если прибавить к этому, что в ту эпоху еще не вошли в общее употребление нынешние знаки для плюса и минуса, а вместо них писали буквы р. и т., и что наши скобки заменяли знаками , то станет ясно, какой необычный для современного глаза вид должны были иметь тогда алгебраические выражения.

Вот пример из книги старинного математика Бомбелли (1572):

Мы написали бы то же самое иными знаками:

Кроме обозначения  теперь употребляется для того же действия еще и другое, , весьма удобное в смысле обобщения: оно наглядно подчеркивает, что каждый корень есть не что иное, как степень, показатель которой – дробное число. Оно предложено было замечательным голландским математиком XVI в. Стевином.

Что больше?

ЗАДАЧА 1

Что больше  или ?

Эту и следующие задачи требуется решить, не вычисляя значения корней.

РЕШЕНИЕ

Возвысив оба выражения в 10-ю степень, получаем:

так как 32 > 25, то

ЗАДАЧА 2

Что больше:  или ?

РЕШЕНИЕ

Возвысив оба выражения в 28-ю степень, получаем:

Так как 128 > 49, то и

ЗАДАЧА 3

Что больше:  или ?

РЕШЕНИЕ

Возвысив оба выражения в квадрат, получаем:

Уменьшим оба выражения на 17; у нас останется

Возвышаем эти выражения в квадрат. Имеем:

Отняв по 253, сравниваем

Так как  больше 2, то ; следовательно,

Решить одним взглядом

ЗАДАЧА

Взгляните внимательнее на уравнение

и скажите, чему равен х.

РЕШЕНИЕ

Каждый, хорошо освоившийся с алгебраическими символами, сообразит, что

В самом деле, тогда

и, следовательно,

что и требовалось.

Для кого это «решение одним взглядом» является непосильным, тот может облегчить себе поиски неизвестного следующим образом.

Пусть

x³ = y.

Тогда

и уравнение получает вид

или, возводя в куб:

y ^y =3³.

Ясно, что у = 3 и, следовательно,

Алгебраические комедии

ЗАДАЧА 1

Шестое математическое действие дает возможность разыгрывать настоящие алгебраические комедии и фарсы на такие сюжеты, как 2 · 2 = 5, 2 = 3 и т. п. Юмор подобных математических представлений кроется в том, что ошибка – довольно элементарная – несколько замаскирована и не сразу бросается в глаза. Исполним две пьесы этого комического репертуара из области алгебры.

Первая:

2 = 3.

На сцене сперва появляется неоспоримое равенство

4 – 10 = 9 – 15.

В следующем «явлении» к обеим частям равенства прибавляется по равной величине :

Дальнейший ход комедии состоит в преобразованиях:

Извлекая из обеих частей равенства квадратный корень, получают:

Прибавляя по  к обеим частям, приходят к нелепому равенству

2 = 3.

В чем же кроется ошибка?

РЕШЕНИЕ

Ошибка проскользнула в следующем заключении:

из того, что

был сделан вывод, что

Но из того, что квадраты равны, вовсе не следует, что равны первые степени. Ведь (–5)² = 5², но –5 не равно 5. Квадраты могут быть равны и тогда, когда первые степени разнятся знаками. В нашем примере мы имеем именно такой случай:

но  не равно . Глава шестая

Уравнения второй степени

Рукопожатия

ЗАДАЧА

Участники заседания обменялись рукопожатиями, и кто-то подсчитал, что всех рукопожатий было 66. Сколько человек явилось на заседание?

РЕШЕНИЕ

Задача решается весьма просто алгебраически. Каждый из х участников пожал х – 1 руку. Значит, всех рукопожатий должно было быть х(х – 1); но надо принять во внимание, что когда Иванов пожимает руку Петрова, то и Петров пожимает руку Иванова; эти два рукопожатия следует считать за одно. Поэтому число пересчитанных рукопожатий вдвое меньше, нежели х(х – 1). Имеем уравнение

или, после преобразований,

х² – х – 132 = 0,

откуда

Так как отрицательное решение (–11 человек) в данном случае лишено реального смысла, мы его отбрасываем и сохраняем только первый корень: в заседании участвовало 12 человек.

Пчелиный рой

ЗАДАЧА

В Древней Индии распространен был своеобразный вид спорта – публичное соревнование в решении головоломных задач. Индусские математические руководства имели отчасти целью служить пособием для подобных состязаний на первенство в умственном спорте. «По изложенным здесь правилам, – пишет составитель одного из таких учебников, – мудрый может придумать тысячу других задач. Как солнце блеском своим затмевает звезды, так и ученый человек затмит славу другого в народных собраниях, предлагая и решая алгебраические задачи». В подлиннике это высказано поэтичнее, так как вся книга написана стихами. Задачи тоже облекались в форму стихотворений. Приведем одну из них в прозаической передаче.

Пчелы в числе, равном квадратному корню из половины всего их роя, сели на куст жасмина, оставив позади себя  роя. И только одна пчелка из того же роя кружится возле лотоса, привлеченная жужжанием подруги, неосторожно попавшей в западню сладко пахнущего цветка. Сколько всего было пчел в рое?

РЕШЕНИЕ

Если обозначить искомую численность роя через х, то уравнение имеет вид

Мы можем придать ему более простой вид, введя вспомогательное неизвестное

Тогда х = 2у², и уравнение получится такое:

Решив его, получаем два значения для у:

Соответствующие значения для х:

х₁ = 72, х ₂ = 4,5.